Question

11．如圖1所示，兩根間距為L的金屬導(dǎo)軌MN和PQ，電阻不計(jì)，左端向上彎曲，其余水平，水平導(dǎo)軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場I，右端有另一磁場II，其寬度也為d，但方向豎直向下，磁場的磁感強(qiáng)度大小均為B．有兩根質(zhì)量均為m的金屬棒a和b與導(dǎo)軌垂直放置，a和b在兩導(dǎo)軌間的電阻均為R，b棒置于磁場II中點(diǎn)C、D處，導(dǎo)軌除C、D兩處（對(duì)應(yīng)的距離極短）外其余均光滑，兩處對(duì)棒可產(chǎn)生總的最大靜摩擦力為棒重力的K倍，a棒從彎曲導(dǎo)軌某處由靜止釋放．當(dāng)只有一根棒作切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它速度的減小量與它在磁場中通過的距離成正比，即△v∝△x．試求：

（1）若b棒保持靜止不動(dòng)，則a棒釋放的最大高度h₀．
（2）若將a棒從高度小于h₀的某處釋放，使其以速度v₀進(jìn)入磁場I，結(jié)果a棒以$\frac{{v}_{0}}{2}$的速度從磁場I中穿出，求在a棒穿過磁場I過程中通過b棒的電量q和兩棒即將相碰時(shí)b棒上的電功率P_b．
（3）若將a棒從高度大于h₀的某處釋放，使其以速度v₁進(jìn)入磁場I，經(jīng)過時(shí)間t₁后a棒從磁場I穿出時(shí)的速度大小為$\frac{2{v}_{1}}{3}$，求此時(shí)b棒的速度大小，在如圖2坐標(biāo)中大致畫出t₁時(shí)間內(nèi)兩棒的速度大小隨時(shí)間的變化圖象．

Answer 1

分析 （1）a棒從h₀高處釋放后在彎曲導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒求得速度，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求得電動(dòng)勢(shì)，在求出安培力．
（2）流過電阻R的電量q=$\overline{I}$△t，求出電流，求出電功率．
（3）由于a棒從高度大于h₀處釋放，因此當(dāng)a棒進(jìn)入磁場I后，b棒開始向左運(yùn)動(dòng)．由于每時(shí)每刻流過兩棒的電流強(qiáng)度大小相等，兩磁場的磁感強(qiáng)度大小也相等，所以兩棒在各自磁場中都做變加速運(yùn)動(dòng)，且每時(shí)每刻兩棒的加速度大小均相同．

解答 解：（1）a棒從h₀高處釋放后在彎曲導(dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)機(jī)械守恒，有
$mg{h}_{0}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$
a棒剛進(jìn)入磁場I時(shí) E=BLv  
此時(shí)感應(yīng)電流大小I=$\frac{E}{2R}$   
此時(shí)b棒受到的安培力大小 F=BIL 
依題意，有F=Kmg 
解得h₀=$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
（2）由于a棒從小于進(jìn)入h₀釋放，因此b棒在兩棒相碰前將保持靜止．
流過電阻R的電量q=$\overline{I}$△t
又$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{{R}_{總}}$=$\frac{△∅}{{R}_{總}△t}$=$\frac{B△S}{{R}_{總}△t}$
所以在a棒穿過磁場I的過程中，通過電阻R的電量
q=$\frac{B△S}{{R}_{總}}$=$\frac{BLd}{2R}$
將要相碰時(shí)a棒的速度v=$\frac{{v}_{0}}{2}-\frac{{v}_{0}-\frac{{v}_{0}}{2}}qy78bxy×\frac2aaeimp{2}=\frac{{v}_{0}}{4}$
此時(shí)電流I=$\frac{BLv}{2R}$=$\frac{BL{v}_{0}}{8R}$  
此時(shí)b棒電功率 ${P}_={I}^{2}R$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{64R}$ 
（3）由于a棒從高度大于h₀處釋放，因此當(dāng)a棒進(jìn)入磁場I后，b棒開始向左運(yùn)動(dòng)．由于每時(shí)每刻流過兩棒的電流強(qiáng)度大小相等，兩磁場的磁感強(qiáng)度大小相等，所以兩棒在各自磁場中都做變加速運(yùn)動(dòng)，且每時(shí)每刻兩棒的加速大小均相同，
所以當(dāng)a棒在t₁時(shí)間內(nèi)速度改變（${v}_{1}-\frac{2}{3}{v}_{1}$）=$\frac{{v}_{1}}{3}$時(shí)，b棒速度大小也相應(yīng)改變了$\frac{{v}_{1}}{3}$，
即此時(shí)b棒速度大小為$\frac{{v}_{1}}{3}$
兩棒的速度大小隨時(shí)間的變化圖象大致右圖所示：
  
答：（1）若b棒保持靜止不動(dòng)，則a棒釋放的最大高度$\frac{2{K}^{2}{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．
（2）在a棒穿過磁場I過程中通過b棒的電量$\frac{BLd}{2R}$和兩棒即將相碰時(shí)b棒上的電功率$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{64R}$．
（3）經(jīng)過時(shí)間t₁后a棒從磁場I穿出時(shí)的速度大小為$\frac{2{v}_{1}}{3}$，此時(shí)b棒的速度大小$\frac{{v}_{1}}{3}$，在t₁時(shí)間內(nèi)兩棒的速度大小隨時(shí)間的變化圖象如上圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)中力學(xué)與功能問題，物理過程比較復(fù)雜，對(duì)于這類問題，理清解題的思路很重要．