Question

4．如圖所示，質(zhì)量為m、帶電量為-q的小球放在光滑絕緣傾斜導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌傾角為45°，其下端平滑連接一半徑為R的豎直圓形光滑絕緣軌道，整個(gè)裝置放在方向水平向左，強(qiáng)度為E=$\frac{mg}{q}$的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．小球在A點(diǎn)由靜止釋放．試問：
（1）若AB高度差為H，則小球到達(dá)最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力為多少？
（2）若小球能通過豎直軌道，則AB高度差為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的速度，在B點(diǎn)豎直方向的合力提供向心力，即可求出小球到達(dá)最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力；
（2）將電場(chǎng)力和重力的合力等效為重力，求出等效重力場(chǎng)最高點(diǎn)的速度，再對(duì)整個(gè)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理即可求出AB高度差；

解答 解：（1）根據(jù)題意$E=\frac{mg}{q}$，則Eq=mg
A到B過程電場(chǎng)力與重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：$EqH+mgH=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
解得：${v}_{B}^{\;}=\sqrt{4gH}$
在B點(diǎn)受重力、電場(chǎng)力和軌道的支持力，合力提供向心力，得：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上公式，求得：${F}_{N}^{\;}=mg+m\frac{4gH}{R}=mg（1+\frac{4H}{R}）$
根據(jù)牛頓第三定律，軌道對(duì)小球的壓力等于小球?qū)�軌道的壓力，�?mg（1+\frac{4H}{R}）$
（2）將電場(chǎng)力和重力的合力當(dāng)作重力，等效重力$\sqrt{2}mg$

等效重力場(chǎng)的最高點(diǎn)：$\sqrt{2}mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
根據(jù)動(dòng)能定理，有
$mg（H-R-\frac{\sqrt{2}}{2}R）+Eq（H-\frac{\sqrt{2}}{2}R）=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
代入數(shù)據(jù)：$H=\frac{3\sqrt{2}+2}{4}R$
答：（1）若AB高度差為H，則小球到達(dá)最低點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)對(duì)圓軌道的壓力為$mg（1+\frac{4H}{R}）$
（2）若小球能通過豎直軌道，則AB高度差為$\frac{3\sqrt{2}+2}{4}R$

點(diǎn)評(píng) 考查動(dòng)能定理與向心力公式的應(yīng)用，注意力做功的正負(fù)，注意等效重力的思維是解題的關(guān)鍵．注意等效重力場(chǎng)的“最高點(diǎn)”與圓周軌道的最高點(diǎn)的區(qū)別．