Question

10．如圖所示是游樂園內(nèi)某種過山車的示意圖．圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道固定在傾角θ=37°的斜軌道面上的A、B兩點，已知兩圓形軌道的最高點C、D均與P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現(xiàn)使小車（可視為質(zhì)點）從P點以一定的初速度沿斜面向下運動．已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{1}{6}$，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．問：
（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點C，則它在P點的初速度應(yīng)為多大？
（2）若小車在P點的初速度為15m/s，則小車能否安全通過兩個圓形軌道？試通過分析論證之．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)重力恰好提供向心力求出C點的速度，然后對從P到C過程運用動能定理列式求解；
（2）先求出小車恰好過D的臨界速度，然后對從P到D過程運用動能定理列式求解出能運動到D點的最小速度，再與已知速度相比較得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)小車經(jīng)過C點時的臨界速度為v₁，則
$mg=\frac{mv_1^2}{R_1}$
設(shè)P、A兩點間距離為L₁，由幾何關(guān)系可得
${L_1}=\frac{{{R_1}（1+cosθ）}}{sinθ}$
小車從P運動到C，根據(jù)動能定理，有
$-μmg{L_1}cosθ=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
解得 v₀=6m/s
即若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點C，則它在P點的初速度應(yīng)為6m/s．
（2）設(shè)P、B兩點間距離為L₂，由幾何關(guān)系可得
${L_2}=\frac{{{R_2}（1+cosθ）}}{sinθ}$
設(shè)小車能安全通過兩個圓形軌道在D點的臨界速度為v₂，則
$mg=\frac{mv_2^2}{R_2}$
設(shè)P點的初速度為v'₀小車從P運動到D，根據(jù)動能定理，有
$-μmg{L_2}cosθ=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv'_0^2$
解得
v'₀=12m/s，可知v'₀=12m/s＜15m/s
故小車能安全通過兩個圓形軌道．
答：（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點C，則它在P點的初速度應(yīng)為6m/s．
（2）若小車在P點的初速度為15m/s，小車能安全通過兩個圓形軌道．

點評 本題考查豎直平面內(nèi)的圓周運動，解答的關(guān)鍵是先求出小車經(jīng)過最高點的臨界速度，然后對從開始到最高點過程運用動能定理列式求解．