Question

3．石墨烯是近些年發(fā)現(xiàn)的一種新材料，其超高強度及超強導(dǎo)電、導(dǎo)熱等非凡的物理化學(xué)性質(zhì)有望使21世紀(jì)的世界發(fā)生革命性的變化，其發(fā)現(xiàn)者由此獲得2010年諾貝爾物理學(xué)獎．用石墨烯制作超級纜繩，人類搭建“太空電梯”的夢想有望在本世紀(jì)實現(xiàn)．科學(xué)家們設(shè)想，通過地球同步軌道站向地面垂下一條纜繩至赤道基站，電梯倉沿著這條纜繩運行，實現(xiàn)外太空和地球之間便捷的物資交換．
（1）若”太空電梯”將貨物從赤道基站運到距地面高度為h₁的同步軌道站，求軌道站內(nèi)質(zhì)量為m₁的貨物相對地心運動的速度．設(shè)地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，地球半徑為R．
（2）當(dāng)電梯倉停在距地面高度h₂=4R的站點時，求倉內(nèi)質(zhì)量m₂的人對水平地板的壓力大�。�已知地面附近重力加速度g，地球自轉(zhuǎn)角速度ω，地球半徑R．

Answer 1

分析 （1）因為同步軌道站與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，根據(jù)軌道半徑求出軌道站的線速度．
（2）根據(jù)向心加速度的大小，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出人對水平地板的壓力大�。�

解答 解：（1）設(shè)貨物相對地心的距離為${r}_{1}^{\;}$，線速度為${v}_{1}^{\;}$
由${r}_{1}^{\;}=R+{h}_{1}^{\;}$，${v}_{1}^{\;}=ω{r}_{1}^{\;}$
得${v}_{1}^{\;}=ω（R+{h}_{1}^{\;}）$
（2）設(shè)水平地板對人的支持力大小為${F}_{N}^{\;}$，根據(jù)牛頓運動定律有：
$G\frac{M{m}_{2}^{\;}}{（R+{h}_{2}^{\;}）_{\;}^{2}}-{F}_{N}^{\;}={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}（R+{h}_{2}^{\;}）$
由$GM=g{R}_{\;}^{2}$
且${h}_{2}^{\;}=4R$
由牛頓第三定律得${F}_{N}^{\;}={F}_{N}^{′}$
得${F}_{N}^{′}=\frac{{m}_{2}^{\;}g}{25}-5{m}_{2}^{\;}R{ω}_{\;}^{2}$
答：（1）若”太空電梯”將貨物從赤道基站運到距地面高度為h₁的同步軌道站，軌道站內(nèi)質(zhì)量為m₁的貨物相對地心運動的速度為$ω（R+{h}_{1}^{\;}）$．
（2）當(dāng)電梯倉停在距地面高度h₂=4R的站點時，求倉內(nèi)質(zhì)量m₂的人對水平地板的壓力大小為$\frac{{m}_{2}^{\;}g}{25}-5{m}_{2}^{\;}R{ω}_{\;}^{2}$．

點評 本題考查了萬有引力定律與牛頓第二定律的綜合，知道同步軌道站的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，以及知道人所受的萬有引力和支持力的合力提供圓周運動的向心力，掌握萬有引力等于重力這一理論，并能靈活運用．