如圖所示,質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中,盒子的邊長略大于球的直徑.某同學(xué)拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng),已知重力加速度為g,空氣阻力不計(jì),問:
(1)要使盒子在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無作用力,則該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為多少?
(2)若盒子以第(1)問中周期的
12
做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則當(dāng)盒子運(yùn)動(dòng)到圖示球心與O點(diǎn)位于同一水平面位置時(shí),小球?qū)凶拥哪男┟嬗凶饔昧,作用力為多大?/div>
分析:(1)要使盒子在最高點(diǎn)時(shí)盒子與小球之間恰好無作用力,由重力提供向心力,由牛頓第二定律求得線速度v,周期T0=
2πR
v

(2)小球的向心加速度為an=
4π2
T2
R
,結(jié)合第1問的結(jié)果得到an.根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律,運(yùn)用正交分解法分別研究水平和豎直兩個(gè)方向小球受到的作用力.
解答:解:(1)設(shè)此時(shí)盒子的運(yùn)動(dòng)周期為T0,因?yàn)樵谧罡唿c(diǎn)時(shí)盒子與小球之間剛好無作用力,因此小球僅受重力作用.根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得:
  mg=m
v2
R

又周期T0=
2πR
v

解之得:T0=2π
R
g

(2)設(shè)此時(shí)盒子的運(yùn)動(dòng)周期為T,則此時(shí)小球的向心加速度為:an=
4π2
T2
R

由第一問知:g=
4π2
T02
R
 且T=
T
 
0
2

由上述三式知:an=4g
設(shè)小球受盒子右側(cè)面的作用力為F,受上側(cè)面的作用力為N,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律知:
在水平方向上:F=man
即:F=4mg
在豎直方向上:N+mg=0
即:N=-mg
因?yàn)镕為正值、N為負(fù)值,所以小球?qū)凶拥挠覀?cè)面和下側(cè)面有作用力,分別為4mg和mg.  
答:(1)該盒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為2π
R
g

(2)小球?qū)凶拥挠覀?cè)面和下側(cè)面有作用力,分別為4mg和mg.
點(diǎn)評:本題運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律研究豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)問題,關(guān)鍵是確定向心力的來源,第2問,運(yùn)用正交分解時(shí)要注意豎直方向上沒有加速度.
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g
3
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