Question

17．“科學(xué)真是迷人，根據(jù)零星的事實，增添一點猜想，竟能贏得那么多收獲！”這是著名文學(xué)家馬克•吐溫對萬有引力理論成就的高度稱贊．地球的質(zhì)量不可能用天平稱量，但可以通過萬有引力定律來“稱量”．
甲同學(xué)說：如果知道地球半徑R、引力常量G、地球表面的重力加速度g，就能“稱量”出地球質(zhì)量．
乙同學(xué)說：如果知道人造衛(wèi)星繞地球的運行周期T、軌道半徑r、引力常量G，也能“稱量”出地球質(zhì)量．
請你任選一位同學(xué)的說法，推導(dǎo)出“稱量”地球質(zhì)量M的表達(dá)式．并說明你進(jìn)行這種推導(dǎo)的簡化條件．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$，只要知道人造衛(wèi)星繞地球的運行周期T、軌道半徑r、引力常量G，即可求出中心天體地球的質(zhì)量．

解答 證明：根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}r$，解得$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，所以當(dāng)G測定后，只要知道人造衛(wèi)星繞地球的運行周期T、軌道半徑r、引力常量G，即可求出中心天體地球的質(zhì)量．
證明見上．

點評 本題要注意：當(dāng)一個環(huán)繞天體繞中心天體運動時，只能求中心天體的質(zhì)量．如果知道地球繞太陽運動的周期和半徑，只能計算中心天體太陽的質(zhì)量．