Question

20．如圖所示，在xOy平面內(nèi)第Ⅲ象限的某一矩形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其矩形區(qū)域邊界分別平行于x和y軸，且其中一邊與y軸重合，y軸右側(cè)有平行于y軸向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)．有一質(zhì)量m=10^-12kg，q=-10^-7C帶負(fù)電的粒子從O點(diǎn)以速度v₀=10⁵m/s，沿與y軸負(fù)向成θ=30°的方向射入第Ⅲ象限，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，從y軸上的M點(diǎn)垂直于y軸射入第Ⅳ象限，經(jīng)電場(chǎng)從x軸上的N點(diǎn)進(jìn)入第Ⅰ象限，已知M點(diǎn)縱坐標(biāo)為y_M=-3m，N點(diǎn)橫坐標(biāo)x_N=6$\sqrt{3}$m．不計(jì)粒子的重力，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小；
（2）磁場(chǎng)的大小和方向；
（3）矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）畫(huà)出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)的幾何圖．根據(jù)幾何知識(shí)求出粒子在第三象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由牛頓第二定律求解勻強(qiáng)磁場(chǎng)B的大�。�
（3）磁場(chǎng)B的最小區(qū)域應(yīng)該分布在微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡與磁場(chǎng)兩圓的公共部分的面積，根據(jù)幾何知識(shí)求出B磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向：x_N=v₀t
豎直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}•{t}^{2}$
聯(lián)立得：E=5.56×10³N/m
（2）由圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知，粒子進(jìn)入第三象限后，不能直接進(jìn)入磁場(chǎng)，是先做一段勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，然后再進(jìn)入磁場(chǎng)，如圖，由圖中幾何關(guān)系得：
$-{y}_{M}=r+\frac{r}{sin30°}=3r$
所以：r=1m
由帶電粒子在磁場(chǎng)中受到的了量子理論通過(guò)向心力，得：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{r}$
所以：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$
代入數(shù)據(jù)得：B=1T
負(fù)電荷在磁場(chǎng)中向右偏轉(zhuǎn)，所以磁場(chǎng)的方向向外．
（3）由圖，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡剛好與磁場(chǎng)的邊界相切時(shí)，磁場(chǎng)的面積最小，所以該磁場(chǎng)的寬度：L₁=r=1m，
磁場(chǎng)的長(zhǎng)度：L₂=r+r•cos60°=1.5r=1.5m
則磁場(chǎng)的面積：s=${L}_{1}•{L}_{2}=1×1.5=1.5{m}^{2}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是5.56×10³N/m；
（2）磁場(chǎng)的大小是1T，方向垂直于紙面向外；
（3）矩形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積是1.5m²．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于洛倫茲力由速度決定，所以粒子必做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，僅受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可確定磁感應(yīng)強(qiáng)度．