Question

【題目】

雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關(guān)。雨滴間無相互作用且雨滴質(zhì)量不變，重力加速度為g。

（1）質(zhì)量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時(shí)速度為u，求這一過程中克服空氣阻力所做的功W。

____

（2）將雨滴看作半徑為r的球體，設(shè)其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數(shù)。

a．設(shè)雨滴的密度為ρ，推導(dǎo)雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關(guān)系式；

____

b．示意圖中畫出了半徑為r1、r2（r1>r2）的雨滴在空氣中無初速下落的v–t圖線，其中_________對(duì)應(yīng)半徑為r1的雨滴（選填①、②）；若不計(jì)空氣阻力，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出雨滴無初速下落的v–t圖線。

（__________）

（3）由于大量氣體分子在各方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，其對(duì)靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡化為垂直于運(yùn)動(dòng)方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時(shí)受到的空氣阻力f ∝v2（提示：設(shè)單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為n，空氣分子質(zhì)量為m0）。

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Answer 1

【答案】 ① 詳見解析

【解析】

(1)對(duì)雨滴由動(dòng)能定理解得：雨滴下落h的過程中克服阻做的功；

(2) 雨滴的加速度為0時(shí)速度最大解答；

(3)由動(dòng)量定理證明

(1)對(duì)雨滴由動(dòng)能定理得：

解得：；

(2)a.半徑為r的雨滴體積為：，其質(zhì)量為

當(dāng)雨滴的重力與阻力相等時(shí)速度最大，設(shè)最大速度為，則有：

其中

聯(lián)立以上各式解得：

由可知，雨滴半徑越大，最大速度越大，所以①對(duì)應(yīng)半徑為的雨滴，

不計(jì)空氣阻力，雨滴做自由落體運(yùn)動(dòng)，圖線如圖：

；

(3)設(shè)在極短時(shí)間內(nèi)，空氣分子與雨滴碰撞，設(shè)空氣分子的速率為U，

在內(nèi)，空氣分子個(gè)數(shù)為：，其質(zhì)量為

設(shè)向下為正方向，對(duì)圓盤下方空氣分子由動(dòng)量定理有：

對(duì)圓盤上方空氣分子由動(dòng)量定理有：

圓盤受到的空氣阻力為：

聯(lián)立解得：。