Question

如圖所示，皮帶傳動(dòng)裝置與水平面夾角為30°，輪半徑R=

1

2π

 m，兩輪軸心相距L=3.75m，A、B分別使傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑．一個(gè)質(zhì)量為0.1kg的小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=

3

6

．g取10m/s²．
（1）當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向以v₁=3m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將小物塊無初速地放在A點(diǎn)后，它運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)需多長時(shí)間？（計(jì)算中可取

252

≈16，

396

≈20）
（2）小物塊相對于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)在傳送帶上留下痕跡．當(dāng)傳送帶沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，小
物塊無初速地放在A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)飛出．要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₂至少多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析小物塊的運(yùn)動(dòng)情況．先由牛頓第二定律求出小物塊沿傳送帶向下勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出物塊速度與傳送帶相等時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間和通過的位移，判斷物塊的速度與傳動(dòng)帶速度相等以后物體的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）小物塊相對于傳送帶運(yùn)動(dòng)時(shí)，在傳送帶上留下痕跡等于兩者相對路程的大小．分析傳送帶速度與留下的痕跡長度的關(guān)系，確定什么條件下痕跡最長，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₂．

解答：解：（1）當(dāng)小物塊速度小于3m/s時(shí)，小物塊受到豎直向下的重力、垂直傳送帶向上的支持力和沿傳送帶斜向下的摩擦力作用，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a₁，根據(jù)牛頓第二定律
    mgsin30°+μmgcos30°=ma₁①
解得 a₁=7.5m/s²
當(dāng)小物塊速度等于3m/s時(shí)，設(shè)小物塊對地位移為L₁，用時(shí)為t₁，根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
  t1=

v1

a1

②
L1=

v12

2a1

③
代入解得 t₁=0.4 s   L₁=0.6 m
由于L₁＜L 且μ＜tan30°，當(dāng)小物塊速度等于3m/s時(shí)，小物塊將繼續(xù)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)，設(shè)
加速度為a₂，用時(shí)為t₂，根據(jù)牛頓第二定律和勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
  mgsin30°-μmgcos30°=ma₂④
解得  a₂=2.5m/s²
又L-L₁=v₁t₂+

1

2

a₂t₂²⑤
解得 t₂≈0.8 s
故小物塊由靜止出發(fā)從A到B所用時(shí)間為 t=t₁+t₂=1.2s
（2）傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度越大，小物塊從A點(diǎn)到B點(diǎn)用時(shí)越短，當(dāng)傳送帶速度等于某一值v′時(shí)，小物塊將從A點(diǎn)一直以加速度a₁做勻加速直線運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，所用時(shí)間最短，設(shè)用時(shí)t₀，即
L=

1

2

a₁t₀²⑥
解得t₀=1s
傳送帶的速度繼續(xù)增大，小物塊從A到B的時(shí)間保持t₀不變，而小物塊和傳送帶之間的相對路程繼續(xù)增大，小物塊在傳送帶上留下的痕跡也繼續(xù)增大；當(dāng)痕跡長度等于傳送帶周長時(shí)，痕跡為最長S_max．  
設(shè)此時(shí)傳送帶速度為v₂，則
   S_max=2L+2πR⑦
   S_max=v₂t₀-L ⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧解得 v₂=12.25m/s
答：
（1）將小物塊無初速地放在A點(diǎn)后，它運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)需1.2s時(shí)間．
（2）要想使小物塊在傳送帶上留下的痕跡最長，傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₂至少為12.25m/s．

點(diǎn)評：本題的關(guān)鍵之處在于分析物塊的運(yùn)動(dòng)情況，也可以通過作速度圖象分析．