Question

如圖所示，在以O(shè)為圓心，半徑為R=10

3

cm的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=0.10T，方向垂直紙面向外．豎直平行放置的兩金屬板A、K相距為d=20

3

mm，連在如圖所示的電路中．電源電動(dòng)勢(shì)E=91V，內(nèi)阻r=1.0Ω，定值電阻R₁=10Ω，滑動(dòng)變阻器R₂的最大阻值為80Ω，S₁、S₂為A、K板上的兩個(gè)小孔，且S₁、S₂跟O在豎直極板的同一直線上，OS₂=2R，另有一水平放置的足夠長(zhǎng)的熒光屏D，O點(diǎn)跟熒光屏D點(diǎn)之間的距離為H=2R．比荷為2.0×10⁵C/kg的正離子流由S₁進(jìn)入電場(chǎng)后，通過(guò)S₂向磁場(chǎng)中心射去，通過(guò)磁場(chǎng)后落到熒光屏D上．離子進(jìn)入電場(chǎng)的初速度、重力、離子之間的作用力均可忽略不計(jì)．
問(wèn)：（1）請(qǐng)分段描述正離子自S₁到熒光屏D的運(yùn)動(dòng)情況．
（2）如果正離子垂直打在熒光屏上，電壓表的示數(shù)多大？
（3）調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器滑片P的位置，正離子到達(dá)熒光屏的最大范圍多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)離子的受力情況分析其運(yùn)動(dòng)情況．
（2）正離子垂直打在熒光屏上，由幾何知識(shí)求出在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．離子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求得速度．離子在電場(chǎng)中加速過(guò)程，由動(dòng)能定理求得兩金屬板間的電壓，即為電壓表的示數(shù)．
（3）兩金屬板間的電壓越小，離子經(jīng)電場(chǎng)后獲得的速度也越小，離子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小，射出電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角越大，越可能射向熒光屏的左側(cè)，當(dāng)滑動(dòng)片P處于最左端時(shí)，兩金屬板間電壓最小，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最左端點(diǎn)，由歐姆定律求出兩金屬板間電壓最小值，由（2）問(wèn)的結(jié)論求出離子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的半徑，即可由幾何知識(shí)求出離子射到熒光屏的最左端點(diǎn)到熒光屏中心的距離；當(dāng)滑動(dòng)片P處于最右端時(shí)，兩金屬板間電壓最大，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最右端點(diǎn)，用同樣的方法求出離子射到熒光屏的最右端點(diǎn)到熒光屏中心的距離，即可得到正離子到達(dá)熒光屏的最大范圍．

解答：解：（1）正離子在兩金屬板間受到電場(chǎng)力而作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，離開電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)后，離子又做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到打在熒光屏上．
（2）設(shè)離子由電場(chǎng)射出后進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v．因離子是沿圓心O的方向射入磁場(chǎng)，由對(duì)稱性可知，離子射出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向的反向延長(zhǎng)線也必過(guò)圓心O．離開磁場(chǎng)后，離子垂直打在熒光屏上（圖中的O′點(diǎn)），則離子在磁場(chǎng)中速度方向偏轉(zhuǎn)了90°，由幾何知識(shí)可知，離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑
r′=R=10

3

cm①
設(shè)離子的電荷量為q、質(zhì)量為m，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v有
由qvB=m

v2

r′

得r′=

mv

qB

②
設(shè)兩金屬板間的電壓為U，離子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理有：
qU=

1

2

mv2③
而

q

m

=2×105C/kg ④
由②③兩式可得U=

B2r′2q

2m

⑤
代入有關(guān)數(shù)值可得U=30V，也就是電壓表示數(shù)為30V．
（3）因兩金屬板間的電壓越小，離子經(jīng)電場(chǎng)后獲得的速度也越小，離子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小，射出電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角越大，也就越可能射向熒光屏的左側(cè)．
由閉合電路歐姆定律有，I=

E

R1+R2+r

=1A．
當(dāng)滑動(dòng)片P處于最右端時(shí)，兩金屬板間電壓最大，為U_max=I（R₁+R₂）=90V
當(dāng)滑動(dòng)片P處于最左端時(shí)，兩金屬板間電壓最小，為U_min=IR₁=10V
兩板間電壓為U_min=10V時(shí)，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最左端點(diǎn)，由②③可解得離子射出電場(chǎng)后的速度大小為v₁=2×10³m/s，離子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁=0.1m．
此時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的徑跡如圖答2所示，O₁為徑跡圓的圓心，A點(diǎn)為離子能射到熒光屏的最左端點(diǎn)．由幾何知識(shí)可得：
tan

α

2

=

r1

R

=

3

3

，所以α=60°
所以AO′=Htan（90°-α）=2×10

3

×

3

3

cm=20cm
而兩板間電壓為U_max=90V時(shí)，離子射在熒光屏上的位置為所求范圍的最右端點(diǎn)，此時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后的徑跡如圖答3所示，
同理由②③可解得離子射出電場(chǎng)后的速度大小為v₁=6×10³m/s，離子在磁場(chǎng)中做圓運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁=0.3m，或直接由⑤式求得r₂=0.3m
由幾何知識(shí)可得tan

β

2

=

r2

R

=

3

即β=120°
所以O(shè)′B=Htan（β-90°）=2×10

3

×

3

3

cm=20cm
離子到達(dá)熒光屏上的范圍為以O(shè)′為中點(diǎn)的左右兩側(cè)20cm．
答：（1）正離子自S₁到熒光屏D的運(yùn)動(dòng)情況是正離子在兩金屬板間作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，離開電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離開磁場(chǎng)后，離子又做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到打在熒光屏上．
（2）如果正離子垂直打在熒光屏上，電壓表的示數(shù)30V．
（3）調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器滑片P的位置，正離子到達(dá)熒光屏的最大范圍是以O(shè)′為中點(diǎn)的左右兩側(cè)20cm．

點(diǎn)評(píng)：本題分析離子的運(yùn)動(dòng)情況是求解的關(guān)鍵和基礎(chǔ)，考查綜合應(yīng)用電路、磁場(chǎng)和幾何知識(shí)，處理帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．