Question

7．如圖所示，質(zhì)量m=1kg的小球A用細線拴住，線長l=0.5m，細線所受拉力達到最大F=18N時就會被拉斷．當小球從圖示位置釋放后擺到懸點的正下方Q時，細線恰好被拉斷，小球以速度v₀飛出，并恰好能垂直落在傾角為45⁰的斜坡上，Q點位于斜坡底端P點的正上方．重力加速度g=10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）繩子斷的瞬間小球的速度v₀大小；
（2）在繩子拉斷的同時在與Q點等高的位置有一小球B自由下落，則小球A落到斜面上的時間t₁與小球B落到地面上的時間t₂比值．

Answer 1

分析 （1）據(jù)題，小球擺到最低點時細線恰好被拉斷，此時細線的拉力達到F=18N，由重力和拉力的合力提供向心力求出小球擺到最低點時的速度．
（2）細線被拉斷后，小球做平拋運動，由高度h求出平拋運動的時間，再求解小球落地處到地面上P點的距離．

解答 解：（1）在最低點，繩子被拉斷的瞬間應滿足：F-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{l}$
解得：v₀=$\sqrt{\frac{（F-mg）l}{m}}$=$\sqrt{\frac{（18-10）×0.5}{1}}=2m/s$
（2）小球恰好能垂直落在傾角為45⁰的斜坡上，設(shè)豎直方向的分速度為v₀，則：$tan45°=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
又：v_y=gt₁
聯(lián)立方程，代入數(shù)據(jù)得：t₁=0.2s
小球沿水平方向的位移：x=v₀t₁=2×0.2=0.4m
Q點到小球的落點之間的水平距離是0.4m，可知P點到小球的落點之間的水平距離也是0.4m，由幾何關(guān)系可知，P點到落點之間的豎直方向的距離也是0.4m；
豎直方向小球的位移：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×10×0．{2}^{2}=0.2$m
所以P到Q的豎直高度為：H=0.2+0.4=0.6m
又：H=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.6}{10}}=0.2\sqrt{3}$s
則：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{0.2}{0.2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
答：（1）繩子斷的瞬間小球的速度v₀大小s 2m/s；
（2）在繩子拉斷的同時在與Q點等高的位置有一小球B自由下落，則小球A落到斜面上的時間t₁與小球B落到地面上的時間t₂比值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題是向心力知識、牛頓第二定律和平拋運動知識的綜合，關(guān)鍵要準確分析向心力的來源，熟練運用運動的分解法研究平拋運動．