Question

【題目】圖中坐標(biāo)原點(diǎn)O (0, 0）處有一帶電粒子源，向y≥0一側(cè)沿Oxy平面內(nèi)的各個(gè)不同方向發(fā)射帶正電的粒子，粒子的速率都是v，質(zhì)量均為m，電荷量均為q．有人設(shè)計(jì)了一方向垂直于Oxy平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為 B 的均勻磁場(chǎng)區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該磁場(chǎng)區(qū)域的邊界射出時(shí)，均能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．試求出此邊界線的方程，并畫出此邊界線的示意圖．

Answer 1

【答案】x2+(y—R)2=R2（8)或，示意圖見解析

【解析】

先設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直xy平面向里，且無邊界．考察從粒子源發(fā)出的速率為v、方向與x軸夾角為θ的粒子，在磁場(chǎng)的洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與速度方向相切，若圓軌道的半徑為R，有

（1）得(2)

圓軌道的圓心O’在過坐標(biāo)原點(diǎn)O與速度方向垂直的直線上，至原點(diǎn)的距離為R，如圖1所示．通過圓心O’作平行于y軸的直線與圓軌道交于P點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)其速度方向恰好是沿x軸正方向，故P點(diǎn)就在磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上．對(duì)于不同人射方向的粒子，對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的位置不同，所有這些P點(diǎn)的連線就是所求磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線．P點(diǎn)的坐標(biāo)為

x＝—Rsinθ(3)

y＝一R+Rcosθ(4)

這就是磁場(chǎng)區(qū)域邊界的參數(shù)方程，消去參數(shù)θ，得

x2+(y+R)2=R2(5)

由（2）、（5）式得

(6)

這是半徑為R圓心O’’的坐標(biāo)為（0，-R)的圓，作為題所要求的磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線，應(yīng)是如圖2所示的半個(gè)圓周，故磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線的方程為

(7)

若磁場(chǎng)方向垂直于xy面向外，則磁場(chǎng)的邊界線為如圖3示的半圓，磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線的方程為

x2+(y—R)2=R2（8)

或（9）

證明同前