(06年天津卷)(22分)神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體,探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律。天文學(xué)家觀測河外星系麥哲倫云時(shí),發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng),它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成,兩星視為質(zhì)點(diǎn),不考慮其它天體的影響,A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動,它們之間的距離保持不變,如圖所示。引力常量為G,由觀測能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T。

(1)可見得A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m/的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對它的引力,設(shè)AB的質(zhì)量分別為m1、m2。試求m/的(用m1m2表示);

(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式;

(3)恒星演化到末期,如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的兩倍,它將有可能成為黑洞。若可見星A的速率v=2.7m/s,運(yùn)行周期T=4.7π×104s,質(zhì)量m1=6ms,試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎?(G=6.67×10N?m/kg2,ms=2.0×1030kg)

解析

(1)設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為r1r2,由題意知,A、B做勻速圓周運(yùn)動的角速相同,其為ω。由牛頓運(yùn)動定律,有

FAm1ω2r1

 

FBm2ω2r2

 

FAFB

設(shè)AB之間的距離為r,又rr1r2,由上述各式得

   r                                                   

 

由萬有引力定律,有

FAG

 

將①代入得

 

FAG

 

FAG

 

        比較可得

                                                     ②

 

(2)由牛頓第二定律,有

 

                          ③

 

又可見星A的軌道半徑

 

             r1                                                          ④

 

由②③④式可得

 

  

         

    (3)將m1=6mI代入⑤式,得

 

           、

 

代入數(shù)據(jù)得

 

            ⑥

 

設(shè)m2nms,(n>0),將其代入⑥式,得

 

      ⑦

   可見,的值隨n的增大而增大,試令n=2,得

 

     、

 

    若使⑦式成立,則n必須大于2,即暗星B的質(zhì)量m2必須大于2ms,由此得出結(jié)論:暗星B有可能是黑洞。

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