Question

（21分）嫦娥1號奔月衛(wèi)星與長征3號火箭分離后，進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離地面高，遠地點離地面高，周期約為16小時，稱為16小時軌道（如圖中曲線1所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠，星載發(fā)動機先在遠地點點火，使衛(wèi)星進入新軌道（如圖中曲線2所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入24小時軌道、48小時軌道和地月轉(zhuǎn)移軌道（分別如圖中曲線3、4、5所示）。已知衛(wèi)星質(zhì)量，地球半徑，地面重力加速度，月球半徑。

1．試計算16小時軌道的半長軸a和半短軸b的長度，以及橢圓偏心率。

2．在16小時軌道的遠地點點火時，假設(shè)衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點火時間很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變。設(shè)推力大小，要把近地點抬高到600，問點火時間應(yīng)持續(xù)多長？

3．試根據(jù)題給數(shù)據(jù)計算衛(wèi)星在16小時軌道的實際運行周期。

4．衛(wèi)星最后進入繞月圓形軌道，距月面高度約為200，周期分鐘，試據(jù)此估算月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比值。

Answer 1

解析：

1. 橢圓半長軸a等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度（皆指衛(wèi)星到地心的距離）與的算術(shù)平均值，即有

                (1)

 代入數(shù)據(jù)得

                           km                 (2)

 橢圓半短軸b等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即有

                                                    (3)

 代入數(shù)據(jù)得

                                                 (4)

 橢圓的偏心率

                                                   (5)

代入數(shù)據(jù)即得  

                                                     (6)

2. 當(dāng)衛(wèi)星在16小時軌道上運行時，以和分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據(jù)能量守恒，衛(wèi)星在近地點和遠地點能量相等，有

                                       (7)

式中是地球質(zhì)量，是萬有引力常量. 因衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據(jù)角動量守恒，有

                                                    (8)

 注意到

                                                       (9)

 由(7)、(8)、(9)式可得

                                                     (10)

                                          (11)

當(dāng)衛(wèi)星沿16小時軌道運行時，根據(jù)題給的數(shù)據(jù)有

                                  

由(11)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

km/s                               (12)

依題意，在遠地點星載發(fā)動機點火，對衛(wèi)星作短時間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長軸方向沒有改變，故加速結(jié)束時，衛(wèi)星的速度與新軌道的長軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠地點.所以新軌道遠地點高度km，但新軌道近地點高度km.由(11)式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠地點處的速度為

                              km/s                  (13)

衛(wèi)星動量的增加量等于衛(wèi)星所受推力F的沖量，設(shè)發(fā)動機點火時間為t，有

                                                      (14)

由(12)、(13)、(14)式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                  t= (約2.5分)                          (15)

這比運行周期小得多.

3. 當(dāng)衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，以r表示它所在處矢徑的大小，v表示其速度的大小，表示矢徑與速度的夾角，則衛(wèi)星的角動量的大小

                                       (16 ) 

其中

                               （17）

是衛(wèi)星矢徑在單位時間內(nèi)掃過的面積，即衛(wèi)星的面積速度.由于角動量是守恒的，故是恒量.利用遠地點處的角動量，得

                                   (18)

又因為衛(wèi)星運行一周掃過的橢圓的面積為

                                              (19)

所以衛(wèi)星沿軌道運動的周期

                                              (20)

由(18)、(19)、(20) 式得

                                        (21)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                        s (約15小時46分)         (22)

注：本小題有多種解法.例如，由開普勒第三定律，繞地球運行的兩衛(wèi)星的周期T與T₀之比的平方等于它們的軌道半長軸a與a₀之比的立方，即

                                    

若是衛(wèi)星繞地球沿圓軌道運動的軌道半徑，則有

                  

得                                                                                                                     

從而得

                          

代入有關(guān)數(shù)據(jù)便可求得(22)式.                               

4. 在繞月圓形軌道上，根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有

                                                (23)

這里是衛(wèi)星繞月軌道半徑，是月球質(zhì)量. 由(23)式和(9)式，可得

                                       (24)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得

                                    (25)