Question

5．一艘小船在200m寬的河中橫渡到對(duì)岸，已知水流速度是5m/s，小船在靜水中的速度是4m/s．
求：（1）欲使船渡河時(shí)間最短，船應(yīng)該怎樣渡河？最短時(shí)間是多少？船經(jīng)過(guò)的位移多大？
（2）欲使航行位移最短，船應(yīng)該怎樣渡河？最短位移是多少？渡河時(shí)間多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 船航行時(shí)速度為靜水中的速度與河水流速二者合速度，當(dāng)以靜水中的速度垂直河岸過(guò)河的時(shí)候渡河時(shí)間最短．
因?yàn)樗�流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達(dá)正對(duì)岸，則當(dāng)合速度垂直靜水速度時(shí)，位移最短．

解答 解：（1）當(dāng)靜水速的方向與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，最短時(shí)間t=$\fraciut9wae{{v}_{c}}$=$\frac{200}{4}$=50s；
船在水流方向的位移s=v_st=5×50=250m；
那么船經(jīng)過(guò)的位移是x=$\sqrt{20{0}^{2}+25{0}^{2}}$≈320m；
（2）因?yàn)樗�流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達(dá)正對(duì)岸．當(dāng)合速度的方向與靜水速的方向垂直時(shí)，合速度的方向與河岸的夾角最短，渡河航程最小．
設(shè)此時(shí)靜水速的方向與河岸的夾角為θ，cosθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{4}{5}$．
解得：夾角θ=37°
根據(jù)幾何關(guān)系，則有：$\fracyba44hs{s}$=$\frac{vc}{{v}_{s}}$，
因此最短的航程是s=$\frac{5}{4}$d=$\frac{5}{4}×200$m=250m．
渡河時(shí)間是t=$\frac{s}{{v}_{合}}$=$\frac{250}{\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}}$≈83.3s；
答：（1）欲使船渡河時(shí)間最短，船應(yīng)該垂直河岸渡河，最短時(shí)間是50s，船經(jīng)過(guò)的位移320m；
（2）欲使航行位移最短，船應(yīng)該偏向上游37°渡河，最短位移是250m，渡河時(shí)間83.3s．

點(diǎn)評(píng) 小船過(guò)河問題屬于運(yùn)動(dòng)的合成問題，要明確分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性、獨(dú)立性，運(yùn)用分解的思想，看過(guò)河時(shí)間只分析垂直河岸的速度，分析過(guò)河位移時(shí)，要分析合速度．