Question

1．如圖所示，兩根足夠長平行金屬導軌MN、PQ固定在傾角θ=37°的絕緣斜面上，頂部接有一阻值R=3Ω的定值電阻，下端開口，軌道間距L=1m．整個裝置處于磁感應強度B=2T的勻強磁場中，磁場方向垂直斜面向上．質量m=1kg的金屬棒ab置于導軌上，ab在導軌之間的電阻r=1Ω，電路中其余電阻不計．金屬棒ab由靜止釋放后沿導軌運動時始終垂直于導軌且與導軌接觸良好．已知金屬棒ab與導軌間動摩擦因數(shù)μ=0.5，不計空氣阻力影響．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．求：
（1）金屬棒ab沿導軌向下運動的最大速度v_m；
（2）金屬棒ab沿導軌向下運動過程中，電阻R上的最大電功率P_R；
（3）若從金屬棒ab開始運動至達到最大速度過程中電阻R上產生的焦耳熱總共為1.5J，求流過電阻R的總電荷量q．

Answer 1

分析 釋放金屬棒后，金屬棒受到重力、支持力、安培力三個力作用，由于棒的速度增大導致感應電流增大，從而阻礙導體運動的安培力也增大，所以加速度減小．
（1）只有當加速度減小為零時，棒的速度達到最大，寫出平衡式，結合感應電動勢、歐姆定律、安培力的式子，就能求出最大速度．
（2）棒勻減速直線運動時，電流最大，消耗的電功率最大，由電功率的式子直接求出．
（3）由于已知金屬棒在整個過程中產生的熱量，則電阻R上產生的熱量能夠求出，從而知道機械能的減小量，由于動能的增量能算出，則棒減小的重力勢能可以求出．那么就能表示出磁通量的改變量、平均感應電動勢、乃至平均感應電流，于是通過導體的電荷量就能求出（時間△t最后消掉）．

解答 解：（1）金屬棒由靜止釋放后，在重力、軌道支持力和安培力作用下沿斜面做變加速運動，加速度不斷減小，當加速度為零時達到最大速度v_m后保持勻速運動．有：
      mgsinθ-μmgcosθ-F_B=0       ①
      F_B=BI L           ②
      $I=\frac{E}{R+r}$         ③
       E=BLv_m ④
  聯(lián)解①②③④得：v_m=2m/s       ⑤
（2）金屬棒以最大速度v_m勻速運動時，電阻R上的電功率最大，根據(jù)功率公式有：
    ${P_R}={I^2}R$…⑥
    聯(lián)解③④⑤⑥得：P_R=3W     ⑦
（3）設金屬棒從開始運動至達到最大速度過程中沿導軌下滑距離為x，由能量守恒定律：
     $（mgsinθ-μmgcosθ）•x=\frac{1}{2}mv_m^2+{Q_R}+{Q_r}$      ⑧
    根據(jù)焦耳定律：$\frac{Q_R}{Q_r}=\frac{R}{r}$             ⑨
              $q=\overline I△t$                        ⑩
           $\overline I=\frac{\overline E}{R+r}$⑪
            $\overline E=\frac{B（△S）}{△t}=\frac{BLx}{△t}$⑫
     聯(lián)解⑧⑨⑩⑪⑫得：q=1C…⑬
答：（1）金屬棒ab沿導軌向下運動的最大速度為2m/s．
（2）金屬棒ab沿導軌向下運動過程中，電阻R上的最大電功率為3W．
（3）若從金屬棒ab開始運動至達到最大速度過程中電阻R上產生的焦耳熱總共為1.5J，則流過電阻R的總電荷量為1C．

點評 本題的關鍵是第三問，求電量問題往往是用平均值來進行計算．由能量守恒求出重力勢能的減少量，從而能求出磁通量的變化量，用平均值就很方便地算出通過導體棒的電量．