Question

8．一根長為L的細繩，一端拴在水平軸O上，另一端有一個質量為m的小球．現使細繩位于水平位置并且繃緊，如圖所示．給小球一個瞬間的作用，使它得到一定的向下的初速度
（1）這個初速度至少多大，才能使小球繞O點在豎直面內做圓周運動？
（2）如果在軸O的正上方A點釘一個釘子，已知AO=$\frac{2}{3}$L，小球以（1）問中的最小速度開始運動，當它運動到O點的正上方，細繩剛接觸到釘子時，繩子的拉力多大？

Answer 1

分析 （1）恰好通過最高點，重力充當向心力，根據動能定理列式求解初速度；
（2）小球在最高點繩子的拉力與重力的合力提供向心力，可根據牛頓第二定律列式求解拉力．

解答 解：（1）球恰好經過最高點P，速度取最小值，故只受重力，重力提供向心力：mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
設初速度為v₀，根據動能定理知-mgL=$\frac{1}{2}$mv²$-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得v₀=$\sqrt{3gL}$
（2）當它運動到O點的正上方，速度大小仍為$\sqrt{gL}$，
半徑變?yōu)?\frac{1}{3}$L，由牛頓運動定律知：
T+mg=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{1}{3}L}$，
解得：T=2mg
答：（1）這個初速度至少為$\sqrt{3gL}$，才能使小球繞O點在豎直面內做圓周運動；
（2）如果在軸O的正上方A點釘一個釘子，已知AO=$\frac{2}{3}$L，小球以（1）問中的最小速度開始運動，當它運動到O點的正上方，細繩剛接觸到釘子時，繩子的拉力為2mg．

點評 本題小球做變速圓周運動，在最高點重力和拉力的合力提供向心力，同時結合動能定理列式求解．