Question

13．如圖所示的電路中U₀=100V，R₀=20Ω，R是滑動(dòng)變阻器（最大阻值是100Ω），A、B是一對(duì)長(zhǎng)L=0.2m豎直正對(duì)固定的平行金屬板，讓一群質(zhì)量均為m=0.1kg，電荷量均為q=2.0×10^-3C的小球不斷地從A板上端水平射入．當(dāng)調(diào)節(jié)R=60Ω時(shí)，小球都恰好從B板的下端豎直向下射出．（不計(jì)小球帶電對(duì)電路的影響，g取10m/s²）．求：
（1）A、B兩極板的間距d和小球射入的初速度v₀；
（2）若要小球都恰好從A板下端射出，應(yīng)調(diào)節(jié)R的阻值為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在AB間受電場(chǎng)力和重力的作用，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合解答．
（2）根據(jù)豎直方向的分運(yùn)動(dòng)求時(shí)間，由水平方向的分運(yùn)動(dòng)求板間電壓，再由串聯(lián)電路的分壓規(guī)律求解R的值．

解答 解：（1）當(dāng)調(diào)節(jié)R=60Ω時(shí)，電容器板間電壓為：
U=$\frac{{R}_{0}}{{R}_{0}+R}$U₀=$\frac{20}{20+60}×$100V=25V
小球在A、B兩極板間運(yùn)動(dòng)時(shí)，豎直方向有：L=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
得：t=$\sqrt{\frac{2L}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.2}{10}}$s=0.2s
水平方向有：d=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
板間場(chǎng)強(qiáng)為：E=$\frac{U}lhnvbrt$，
加速度為：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{qU}{md}$
聯(lián)立得 d=$\frac{qU}{2md}{t}^{2}$，得：d=t$\sqrt{\frac{qU}{2m}}$=0.2×$\sqrt{\frac{2×1{0}^{-3}×25}{2×0.1}}$=0.1m
由d=$\frac{{v}_{0}}{2}t$得：v₀=$\frac{2d}{t}$=$\frac{2×0.1}{0.2}$=1m/s
（2）若要小球都恰好從A板下端射出，則小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間仍為t=0.2s
根據(jù)對(duì)稱性有：$\frac{1}{2}t$=$\frac{{v}_{0}}{a′}$，
得：a′=$\frac{2{v}_{0}}{t}$=$\frac{2×1}{0.2}$=10m/s
由a=$\frac{qU}{md}$得板間電壓為：U′=$\frac{mad}{q}$=$\frac{0.1×10×0.1}{2×1{0}^{-3}}$=50V
則由 U′=$\frac{{R}_{0}}{{R}_{0}+R′}{U}_{0}$得：R′=20Ω
答：（1）A、B兩極板的間距d是0.1m，小球射入的初速度v₀是1m/s．
（2）若要小球都恰好從A板下端射出，應(yīng)調(diào)節(jié)R的阻值為20Ω．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究小球在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要抓住兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性，明確豎直方向分運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)．