Question

12．如圖，一根不可伸長的輕細(xì)繩穿過光滑小環(huán)D，繞過輕質(zhì)光滑定滑輪O，一端與放在光滑斜面上的物塊m₁連接，另一端與穿在光滑水平細(xì)桿上的小球m₂連接，m₂左端通過水平細(xì)線固定在豎直墻壁上，整個(gè)裝置在同一豎直平面內(nèi)．當(dāng)m₂靜止在A點(diǎn)時(shí)，輕細(xì)繩與水平面的夾角為30°，D、A間的距離為1.2m．已知斜面傾角θ=37°，m₁=2kg，m₂=1kg，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²，細(xì)桿、斜面足夠長．試求：
（1）若將與m₂相連的水平細(xì)線剪斷，小球運(yùn)動(dòng)的最大速度的大小
（2）將水平細(xì)線剪斷后，物塊m₁從B點(diǎn)沿斜面運(yùn)動(dòng)0.4m到C點(diǎn)時(shí)速度的大小．

Answer 1

分析 （1）小球速度最大時(shí)，正好在D點(diǎn)正下方，由機(jī)械能守恒定律列方程求解；
（2）由速度的合成與分解得到兩個(gè)物塊速度的關(guān)系，對系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律列方程求解．

解答 解：（1）小球速度最大時(shí)，正好在D點(diǎn)正下方，m₁速度為零，對系統(tǒng)由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{m}}^{2}={m}_{1}g（\overline{AD}-\overline{AD}sinα）sinθ$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{m}=\frac{6\sqrt{10}}{5}$m/s 
（2）設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到E，此時(shí)繩與細(xì)桿間的夾角為β，由數(shù)學(xué)知識可知
$sinβ=\frac{\overline{AD}sinα}{\overline{AD}-\overline{BC}}$，（sinβ）²=（cosβ）²=1，$cosβ=\frac{\sqrt{7}}{4}$
m₁從B滑到C的速度為v₁．由系統(tǒng)由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}={m}_{1}g\overline{BC}sinθ$
由速度分解知識可得：v₁=v₂cosβ
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)得：${v}_{1}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$m/s
答：（1）若將與m₂相連的水平細(xì)線剪斷，小球運(yùn)動(dòng)的最大速度的大小為$\frac{6\sqrt{10}}{5}m/s$
（2）將水平細(xì)線剪斷后，物塊m₁從B點(diǎn)沿斜面運(yùn)動(dòng)0.4m到C點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\frac{2\sqrt{15}}{5}$m/s．

點(diǎn)評 解決“繩（桿）端速度分解模型”問題時(shí)應(yīng)把握以下兩點(diǎn)：
（1）確定合速度，它應(yīng)是m₂的實(shí)際速度；
（2）m₂運(yùn)動(dòng)引起了兩個(gè)效果：一是左邊繩子的縮短，二是繩繞滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)．應(yīng)根據(jù)實(shí)際效果進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的分解