Question

15．如圖所示高度h=0.6m的光滑圓弧形軌道AB在B點(diǎn)與長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.2m的水平粗糙軌道BC相切，在C點(diǎn)固定一豎直擋板，質(zhì)量m=1kg的小球從A點(diǎn)由靜止滑下，小球沿軌道ABC運(yùn)動(dòng)并與擋板發(fā)生碰撞，已知∠AOB=60°，圓心為O，取g=10m/s²．求：
（1）小球第一次到達(dá)B點(diǎn)的速度；
（2）小球第一次運(yùn)動(dòng)到B時(shí)在B點(diǎn)左右兩側(cè)對(duì)軌道壓力之比；
（3）小物塊與墻壁碰撞后速度方向反向，大小為碰前的一半，且只發(fā)生一次碰撞，則小物塊與軌道CB之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍多大？

Answer 1

分析 （1）小球在光滑軌道上滑動(dòng)的過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求解．
（2）由牛頓第二定律求出小球在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)軌道對(duì)小球的支持力，由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力．在B點(diǎn)的右側(cè)，由平衡條件和牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力，即可求解壓力之比�?br />（3）對(duì)于全過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，根據(jù)已知條件分析小物塊在BC上滑行的總路程范圍，求出μ的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
可得 v_B=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.6}$=2$\sqrt{3}$m/s
（2）設(shè)圓軌道的半徑為R，則 h=R（1-cos60°）
得 R=2h=1.2m
小球在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，由牛頓第二定律得：N₁-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，N₁=m（g+$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$）=1×（10+$\frac{12}{1.2}$）=20N
由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓�?N₁′=N₁=20N
小球在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，小球?qū)�軌道的壓�?N₂′=mg=10N
故N₁′：N₂′=2：1
（3）設(shè)小物塊與墻壁碰撞前速度為v，則碰后速度為 $\frac{v}{2}$．
由功能關(guān)系：mgh-μmgL=$\frac{1}{2}$mv²
μmgx=$\frac{1}{2}$m（$\frac{v}{2}$）²
且有 x≤2L
則 μ≥$\frac{1}{18}$
若小物塊要能與墻壁碰撞，則：mgh＞μmgL
  μ＜$\frac{1}{2}$；
故小物塊與軌道CD之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍為：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$
答：
（1）小球第一次到達(dá)B點(diǎn)的速度為2$\sqrt{3}$m/s；
（2）小球第一次運(yùn)動(dòng)到B時(shí)在B點(diǎn)左右兩側(cè)對(duì)軌道壓力之比為2：1．
（3）小物塊與軌道CB之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ的取值范圍為：$\frac{1}{18}$≤μ＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒和向心力的綜合，關(guān)鍵要明確滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)，準(zhǔn)確把握臨界條件進(jìn)行解答．