Question

4．隨著科學(xué)技術(shù)水平的不斷進(jìn)步，相信在不遠(yuǎn)的將來人類能夠?qū)崿F(xiàn)太空移民．為此，科學(xué)家設(shè)計(jì)了一個(gè)巨型環(huán)狀管道式空間站．空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，人們生活在空間站的環(huán)形管道中，管道內(nèi)部截面為圓形，直徑可達(dá)幾千米，如圖（a）所示．已知地球質(zhì)量為M，地球半徑為R，空間站總質(zhì)量為m，G為引力常量．
（1）空間站圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為2R，求空間站在軌道上運(yùn)行的線速度大小；
（2）為解決長(zhǎng)期太空生活的失重問題，科學(xué)家設(shè)想讓空間站圍繞通過環(huán)心并垂直于圓環(huán)平面的中心軸旋轉(zhuǎn)，使在空間站中生活的人們獲得“人工重力”．該空間站的環(huán)狀管道內(nèi)側(cè)和外側(cè)到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離分別為r₁、r₂，環(huán)形管道壁厚度忽略不計(jì)，如圖（b）所示．若要使人們感受到的“人工重力”與在地球表面上受到的重力一樣（不考慮重力因地理位置不同而產(chǎn)生的差異且可認(rèn)為太空站中心軸靜止），則該空間站的自轉(zhuǎn)周期應(yīng)為多大；
（3）為進(jìn)行某項(xiàng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)，空間站需將運(yùn)行軌道進(jìn)行調(diào)整，先從半徑為2R的圓軌道上的A點(diǎn)（近地點(diǎn)）進(jìn)行第一次調(diào)速后進(jìn)人橢圓軌道．當(dāng)空間站經(jīng)過橢圓軌道B點(diǎn)（遠(yuǎn)地點(diǎn)）時(shí)，再進(jìn)行第二次調(diào)速后最終進(jìn)人半徑為3R的圓軌道上．若上述過程忽略空間站質(zhì)量變化及自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響，且每次調(diào)速持續(xù)的時(shí)間很短．
①請(qǐng)說明空間站在這兩次調(diào)速過程中，速度大小是如何變化的；
②若以無窮遠(yuǎn)為引力勢(shì)能零點(diǎn)，空間站與地球間的引力勢(shì)能為E_P=-G$\frac{Mm}{r}$，式中r表示空間站到地心的距離，求空間站為完成這一變軌過程至少需要消耗多少能量．

Answer 1

分析 （1）空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解；
（2）考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)，地球表面的物體重力等于萬有引力，再結(jié)合$g=\frac{4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}^{2}}$求解周期；
（3）A點(diǎn)和B點(diǎn)兩次調(diào)速均使空間站做離心運(yùn)動(dòng)，所以兩次都是加速過程，分別求出變軌前后空間站的總能量，進(jìn)而求出損失量．

解答 解：（1）空間站繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，則有：
$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{2R}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{2R}}$
（2）設(shè)地球表面的物體質(zhì)量為m₀，在不考慮地球自轉(zhuǎn)時(shí)有：$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$，
當(dāng)人隨空間站一起自轉(zhuǎn)且加速度為g時(shí)，可獲得與地球表面相同的重力，所以$g=\frac{4{π}^{2}{r}_{2}}{{T}^{2}}$，
解得：T=$2πR\sqrt{\frac{{r}_{2}}{GM}}$
（3）①在A點(diǎn)和B點(diǎn)兩次調(diào)速均使空間站做離心運(yùn)動(dòng)，所以兩次都是加速過程，速度大小變大，
②空間站變軌前的總能量：${E}_{1}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-G\frac{Mm}{2R}=-\frac{GMm}{4R}$，
空間站變軌后做圓周運(yùn)動(dòng)，則有：$G\frac{Mm}{（3R）^{2}}=\frac{mv{′}^{2}}{3R}$，空間站變軌后的總能量：${E}_{2}=\frac{1}{2}m{v′}^{2}-G\frac{Mm}{3R}=-\frac{GMm}{6R}$，
則變軌過程中消耗的能量$△E={E}_{2}-{E}_{1}=\frac{GMm}{12R}$
答：（1）空間站圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為2R，空間站在軌道上運(yùn)行的線速度大小為$\sqrt{\frac{GM}{2R}}$；
（2）該空間站的自轉(zhuǎn)周期應(yīng)為$2πR\sqrt{\frac{{r}_{2}}{GM}}$；
（3）①空間站在這兩次調(diào)速過程中，速度大小都變大；
②空間站為完成這一變軌過程至少需要消耗的能量為$\frac{GMm}{12R}$．

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力分別列方程求解，要求同學(xué)們能讀懂題意，能根據(jù)題目得出有效的信息，難度適中．