Question

18．在用高級瀝青鋪設(shè)的高速公路上，汽車的設(shè)計時速是108km/h，汽車在這種路面上行駛時，它的輪胎與地面的最大靜摩擦力等于車重的$\frac{3}{5}$．如果汽車在這種高速公路的水平彎道上拐彎，假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是多少？事實上，在高速公路的拐彎處路面造得外高內(nèi)低，路面與水平面間的夾角為θ，且tan θ=0.2；而拐彎路段的圓弧半徑R=200m．若要使車輪與路面之間的側(cè)向摩擦力等于零，則車速v應(yīng)為多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時，靠靜摩擦力提供向心力，拐彎時不產(chǎn)生橫向滑動，汽車所需要的向心力不超過最大靜摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求出最小半徑．
在高速公路的拐彎處路面造得外高內(nèi)低時，要使車輪與路面之間的側(cè)向摩擦力等于零，汽車靠重力和支持力的合力提供圓周運動的向心力，再根據(jù)牛頓第二定律求解v．

解答 解：已知v₀=108 km/h=30 m/s
由題意可知：汽車在水平路面上轉(zhuǎn)彎時，當(dāng)靜摩擦力最大時，汽車拐彎的半徑最小，即
  f_m=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{小}}$
所以最小半徑 r_小=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{{f}_{m}}$=$\frac{m×3{0}^{2}}{0.6mg}$=150 m
由題意可知：汽車在高速路上拐彎時的向心力由重力和支持力的合力提供，則有
  F_n=mgtan θ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得 v=$\sqrt{gRtanθ}$=$\sqrt{10×200×0.2}$ m/s=20 m/s
答：假設(shè)彎道的路面是水平的，其彎道的最小半徑是150m．要使車輪與路面之間的側(cè)向摩擦力等于零，則車速v應(yīng)為20 m/s．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道汽車在水平路面上拐彎靠靜摩擦力提供圓周運動的向心力，汽車在高速路上拐彎時，恰好靠重力和支持力的合力提供向心力．