Question

2．如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在xOy平面內(nèi)有與y軸平行的勻強(qiáng)電場，在圖中半徑為R的圓內(nèi)還有與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場．在圓的左邊x=-2R處放置一帶電微粒發(fā)射裝置，它沿x軸正方向發(fā)射出一束具有相同質(zhì)量m、電荷量q（q＞0）和初速度v的帶電微粒．發(fā)射時(shí)，這束帶電微粒分布在0＜y＜2R的區(qū)間內(nèi)．從A點(diǎn)射出的帶電微粒平行于x軸的方向進(jìn)入有界磁場區(qū)域，并從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸負(fù)方向離開磁場．已知重力加速度大小為g，不計(jì)微粒間的相互作用．求：
（1）電場強(qiáng)度E的大小、方向及磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小、方向．
（2）證明所有微粒都要經(jīng)過O點(diǎn)．
（3）粒子從發(fā)出到離開磁場的時(shí)間t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由平衡條件求出電場強(qiáng)度，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）分析清楚粒子運(yùn)動過程，根據(jù)粒子運(yùn)動過程分析答題．
（3）作出粒子運(yùn)動軌跡，粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角越大，粒子運(yùn)動時(shí)間越長，根據(jù)粒子轉(zhuǎn)過的圓心角與粒子在圓周運(yùn)動的周期求出粒子的運(yùn)動時(shí)間．

解答 解：（1）微粒在電場中做直線運(yùn)動，電場力等于重力：qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$，方向豎直向上（沿y軸正向），
在磁場中，qE與重力mg平衡，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
粒子運(yùn)動軌跡如圖a所示，由幾何關(guān)系知：r=R，
解得：B=$\frac{mv}{qR}$，方向垂直xOy平面向外． 
（2）從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動．如圖b所示，P點(diǎn)與O點(diǎn)的連線與y軸的夾角為θ，則圓心Q的坐標(biāo)為（-Rsinθ，Rcosθ），
又?jǐn)?shù)學(xué)知識得：粒子圓周運(yùn)動的軌跡方程為：（x+Rsinθ）²+（y-Rcosθ）²=R²，
令y=0，解得：x=0，由此可知所有粒子最后從坐標(biāo)原點(diǎn)離開磁場；
（3）粒子在電場中做勻速直線運(yùn)動，粒子進(jìn)入磁場后做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，
粒子最終都從坐標(biāo)原點(diǎn)O離開磁場，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πR}{v}$，
從最上端進(jìn)入磁場的粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的角度為180°最大，因而運(yùn)動的時(shí)間最長．
最長運(yùn)動時(shí)間：t_max=t₁+t₂=$\frac{2R}{v}$+$\frac{1}{2}$T=$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$，
從下端射入的粒子運(yùn)動時(shí)間最短：t_min=$\frac{2R}{v}$，
則粒子的運(yùn)動時(shí)間：$\frac{2R}{v}$＜t＜$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$；
答：（1）電場強(qiáng)度E的大小為：$\frac{mg}{q}$，方向：豎直向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為：$\frac{mv}{qR}$，方向：垂直xOy平面向外．
（2）證明如上所述．（3）粒子從發(fā)出到離開磁場的時(shí)間t的取值范圍是：$\frac{2R}{v}$＜t＜$\frac{2R}{v}$+$\frac{πR}{v}$．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵與難點(diǎn)是由數(shù)學(xué)知識求是否還有其它粒子同時(shí)落到圓周上，平時(shí)要注重?cái)?shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用，該題型常常作為壓軸題出現(xiàn)．本題考查了粒子在復(fù)合場、磁場中的運(yùn)動，分析清楚粒子運(yùn)動過程、應(yīng)用平衡條件、牛頓第二定律、周期公式即可正確解題．