Question

（2012?茂名二模）如圖所示，質(zhì)量為M的長(zhǎng)滑塊靜止在光滑水平面上，左端固定一勁度系數(shù)為k且足夠長(zhǎng)的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接于豎直墻上，細(xì)繩子能承受的最大拉力為F_T，使一質(zhì)量為m、初速度為V₀的小物體，在滑塊上無(wú)摩擦地向左滑動(dòng)而后壓縮彈簧，彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為E_P=

1

2

kx²（k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量）．
（1）要使細(xì)繩被拉斷，初速度V₀應(yīng)滿足什么條件？
（2）長(zhǎng)滑塊在細(xì)繩被拉斷后，所獲得的最大加速度為多大？
（3）小物體最后離開(kāi)滑塊時(shí)，相對(duì)地面速度恰好為零的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）假設(shè)繩子不斷，當(dāng)滑塊速度減為零時(shí)，彈性勢(shì)能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）當(dāng)滑塊與長(zhǎng)木板速度相等時(shí)，彈力最大，加速度最大；先求解出斷開(kāi)時(shí)滑塊速度，然后根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律列式聯(lián)立求解出共同速度，得到最大加速度．
（3）滑塊與長(zhǎng)木板分離后，速度恰好為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式后聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）設(shè)彈簧壓縮量為x₁時(shí)，繩被拉斷，即
kx₁=F_T                   ①
壓縮彈簧過(guò)程動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，依題意有

1

2

k

x

2 1

＜

1

2

m

v

2 0

           ②
聯(lián)立解得：v0＞

FT

km

      ③
（2）設(shè)繩被拉斷瞬時(shí)，小物體的速度為V₁，有

1

2

k

x

2 1

+

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 0

     ④
繩斷后長(zhǎng)滑塊加速，小物體減速，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，彈簧壓縮量最大為x₂，長(zhǎng)滑塊有向左的最大加速度a_m，此過(guò)程動(dòng)量守恒，有：
mv₁=（M+m）v₂               ⑤
根據(jù)機(jī)械能守恒，有：

1

2

k

x

2 2

+

1

2

(M+m)

v

2 2

=

1

2

k

x

2 1

+

1

2

m

v

2 1

     ⑥
由牛頓第二定律得：kx₂=Ma_m              ⑦
聯(lián)立①④⑤⑥⑦解得：am=

1

M

kMm v 2 0 +m F 2 T M+m

 ⑧
（3）要使小物體離開(kāi)長(zhǎng)滑塊時(shí)相對(duì)地面速度為零，即彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)小物體速度為零，此時(shí)長(zhǎng)物塊速度為v．在繩斷開(kāi)至彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程中，動(dòng)量守恒，能量守恒，故有
Mv=mv₁           ⑨

1

2

Mv2=

1

2

k

x

2 1

+

1

2

m

v

2 1

 ⑩
聯(lián)立①④⑨⑩解得：m-M=

F 2 T

k v 2 0

      （11）
由于

v

2 0

＞0，必有m＞M    
所以小物體最后離開(kāi)滑塊時(shí)，相對(duì)地面速度恰好為零的條件是m＞M且滿足m-M=

F 2 T

k v 2 0

．
答：（1）要使細(xì)繩被拉斷，初速度V₀應(yīng)滿足v0＞

FT

km

的條件；
（2）長(zhǎng)滑塊在細(xì)繩被拉斷后，所獲得的最大加速度為

1

M

kMm v 2 0 +m F 2 T M+m

；
（3）小物體最后離開(kāi)滑塊時(shí)，相對(duì)地面速度恰好為零的條件是m＞M且滿足m-M=

F 2 T

k v 2 0

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析清楚滑塊和滑板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能結(jié)合機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析，較難．