Question

17．如圖所示，某一空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)．左側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．右側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，方向垂直紙面向里，其右邊界可向右邊無(wú)限延伸．一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計(jì)）從電場(chǎng)左邊界上的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)中間的磁場(chǎng)區(qū)域
后進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域．已知粒子在中間磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷時(shí)間$\frac{πm}{3qB}$后，第一次經(jīng)過(guò)兩磁場(chǎng)邊界的位置為P點(diǎn)（圖中未畫出）．求：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率v；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d；
（3）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出帶電粒子從O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)至第二次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖并求出此過(guò)程經(jīng)歷的總時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）帶正電的粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理可以求出粒子的速度；理即可求解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率；
（2）粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度；
（3）先求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再求出在兩段磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次回到O點(diǎn)所用時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：
qEL=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；          
（2）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得粒子軌道半徑：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$，
粒子在中間磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
由題意“粒子在中間磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷時(shí)間$\frac{πm}{3qB}$后，第一次經(jīng)過(guò)兩磁場(chǎng)邊界的位置為P點(diǎn)”可知，粒子第一次在中間磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$，粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：θ=$\frac{π}{3}$=60°，
中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為：
d=Rsin60°=$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；        
（3）帶電粒子從O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)至第二次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)過(guò)程，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，粒子在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=3$\frac{v}{a}$=3$\frac{v}{\frac{qE}{m}}$=3$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在中間磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=3×$\frac{πm}{3qB}$=$\frac{πm}{qB}$，
在右側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₃=$\frac{θ′}{360°}$T′=$\frac{300°}{360°}$×$\frac{2πm}{q•2B}$=$\frac{5πm}{6qB}$，
則粒子第一次回到O點(diǎn)的所用時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=3$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{11πm}{6qB}$；
答：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速率為$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
（2）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)至第二次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的過(guò)程中運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖如圖所示，此過(guò)程經(jīng)歷的總時(shí)間為3$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{11πm}{6qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，靜止的帶點(diǎn)粒子在電場(chǎng)作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．