Question

如圖5-3-8所示為一根豎直懸掛的不可伸長(zhǎng)的輕繩，下端拴一小物塊A，上端固定在C點(diǎn)且與一能測(cè)量繩的拉力的測(cè)力傳感器相連.已知有一質(zhì)量為m₀的子彈B沿水平方向以速度v₀射入A內(nèi)(未穿透)，接著兩者一起繞C點(diǎn)在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).在各種阻力都可忽略的條件下測(cè)力傳感器測(cè)得繩的拉力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖(b)所示.已知子彈射入的時(shí)間極短，且圖b中t＝0為A、B開(kāi)始以相同速度運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻.根據(jù)力學(xué)規(guī)律和題中(包括圖)提供的信息，對(duì)反映懸掛系統(tǒng)本身性質(zhì)的物理量(例如A的質(zhì)量)及A、B一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的守恒量，你能求出哪些定量的結(jié)果？

圖5-3-8

Answer 1

解析：子彈B沿水平方向以速度v₀射入A內(nèi)(未穿透)，兩者將獲得一個(gè)共同速度v₁，v₁和v₀的關(guān)系為m₀v₀=(m₀+m₁)v₁，式中m是A的質(zhì)量.此規(guī)律就是以后學(xué)到的動(dòng)量守恒定律.根據(jù)圖象可以直接得到A、B共同做圓周運(yùn)動(dòng)的周期和在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的繩子的拉力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以列出方程.又因?yàn)锳、B共同運(yùn)動(dòng)時(shí)遵循機(jī)械能守恒定律，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可以找出最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的速度關(guān)系.

解：由圖(b)可直接看出，A、B一起做周期性運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的周期T=2t₀.

令m表示A的質(zhì)量，l表示繩長(zhǎng)，v₁表示B陷入A內(nèi)時(shí)即t=0 時(shí)A、B的速度(即圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)的速度)，v₂表示運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的速度，F(xiàn)₁表示運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)繩的拉力，F(xiàn)₂表示運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，得

m₀v₀=(m₀+m)v₁

在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)處運(yùn)用牛頓定律可得F₁-(m+m₀)g=(m+m₀)

F₂+(m+m₀)g=(m+m₀)

根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得2l(m+m₀)g=(m+m₀)v₁²-(m+m₀)v₂²

由圖(b)可知F₂=0,F₁=F_m

由以上各式可解得，反映系統(tǒng)性質(zhì)的物理量是m=-m₀，l=,

A、B一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的守恒量是機(jī)械能E，若以最低點(diǎn)為勢(shì)能的零點(diǎn)，則E=(m+m₀)v₁²,

解得E=g.