Question

10．2011年8月25日23時(shí)27分，經(jīng)過77天的飛行，“嫦娥二號(hào)”在世界上首次實(shí)現(xiàn)從月球軌道出發(fā)，受控準(zhǔn)確進(jìn)入日地系統(tǒng)--拉格朗日L₂點(diǎn)的環(huán)繞軌道，如圖所示．已知地球半徑為R₀，地球表面重力加速度為g．
（1）若月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（2）日地系統(tǒng)--拉格朗日L₂點(diǎn)在太陽與地球連線上的地球外側(cè)，由于同時(shí)受到太陽和地球的引力，飛船繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期與地球的公轉(zhuǎn)周期相等（不考慮月球及其他因素影響）．若地球軌道半徑為R，公轉(zhuǎn)周期為T₀，試寫出計(jì)算日地系統(tǒng)--拉格朗日L₂點(diǎn)到地球的距離L的表達(dá)式（只要求寫出用已知量表示的關(guān)系式）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬有引力列式求解；
（2）設(shè)太陽質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為M₀，嫦娥二號(hào)的質(zhì)量為m₀，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律列式，地球繞太陽公轉(zhuǎn)，根據(jù)萬有引力提供向心力列式，聯(lián)立方程即可求解．

解答 解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M₀，月球質(zhì)量為M_月，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律：
月球環(huán)繞運(yùn)動(dòng)：$G\frac{{M}_{月}{M}_{0}}{{r}^{2}}={M}_{月}（\frac{2π}{T}）^{2}r$
地球表面近似：$mg=G\frac{{M}_{0}m}{{{R}_{0}}^{2}}$
解得$r=\root{3}{\frac{g{{R}_{0}}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設(shè)太陽質(zhì)量為M，地球質(zhì)量為M₀，嫦娥二號(hào)的質(zhì)量為m₀，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律：
嫦娥二號(hào)在L₂點(diǎn)：$G\frac{M{m}_{0}}{（R+L）^{2}}+G\frac{{M}_{0}{m}_{0}}{{L}^{2}}={m}_{0}（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}（R+L）$
地球繞太陽公轉(zhuǎn)：$G\frac{M{M}_{0}}{{R}^{2}}={M}_{0}{（\frac{2π}{{T}_{0}}）}^{2}R$
化簡得：$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}（R+L）^{2}}+\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}=（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}（R+L）$
答：（1）月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為$\root{3}{\frac{g{{R}_{0}}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）計(jì)算日地系統(tǒng)--拉格朗日L₂點(diǎn)到地球的距離L的表達(dá)式為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{{T}_{0}}^{2}{（R+L）}^{2}}+\frac{g{{R}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}={（\frac{2π}{{T}_{0}}）}^{2}（R+L）$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，由萬有引力提供星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，難度適中．