Question

如圖所示，在一底邊長(zhǎng)為2L，θ=45°的等腰三角形區(qū)域內(nèi)（O為底邊中點(diǎn)）有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子從靜止開始經(jīng)過電勢(shì)差為U的電場(chǎng)加速后，從O點(diǎn)垂直于AB進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力與空氣阻力的影響．
（1）粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度？
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B為多少時(shí)，粒子能以最大的圓周半徑偏轉(zhuǎn)后打到OA板？
（3）增加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可以再延長(zhǎng)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極限時(shí)間．（不計(jì)粒子與AB板碰撞的作用時(shí)間，設(shè)粒子與AB板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈）

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)能定理求粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)的速度；
（2）要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應(yīng)與AC邊相切，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系及向心力公式求解；
（3）當(dāng)r越小，后一次打到AB板的點(diǎn)越靠近A端點(diǎn)，在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)累積路程越大，時(shí)間越長(zhǎng)．當(dāng)r為無窮小，經(jīng)過n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)，最后一次打到A點(diǎn)．

解答：解：（1）依題意，粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v
由  qU=

1

2

mv2①
得v=

2qU m

②
（2）要使圓周半徑最大，則粒子的圓周軌跡應(yīng)與AC邊相切，設(shè)圓周半徑為R
由圖中幾何關(guān)系：R+

R

sinθ

=L③
由洛侖茲力提供向心力：qvB=m

v2

R

④

聯(lián)立②③④解得B=

(1+ 2 ) 2Uqm

qL

⑤
（3）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)圓周半徑為r，r=

mv

qB

，當(dāng)r越小，最后一次打到AB板的點(diǎn)越靠近A端點(diǎn)，在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)累積路程越大，時(shí)間越長(zhǎng)．當(dāng)r為無窮小，經(jīng)過n個(gè)半圓運(yùn)動(dòng)，最后一次打到A點(diǎn)．有：n=

L

2r

⑥
圓周運(yùn)動(dòng)周期：T=

2π?r

v

⑦
最長(zhǎng)的極限時(shí)間tm=n

T

2

⑧
由⑥⑦⑧式得：tm=

π?L

2v

=

π?L

2

m 2qU

答：（1）粒子經(jīng)電場(chǎng)加速射入磁場(chǎng)時(shí)的速度為

2qU m

；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

(1+ 2 ) 2Uqm

qL

時(shí)，粒子能以最大的圓周半徑偏轉(zhuǎn)后打到OA板；
（3）增加磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，可以再延長(zhǎng)粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的極限時(shí)間為

π?L

2

m 2qU

．

點(diǎn)評(píng)：做好此類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，利用幾何知識(shí)求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，再結(jié)合半徑公式和周期公式去分析．