Question

5．如圖1所示，加速電場(chǎng)的加速電壓為U₀=50V，在它的右側(cè)有水平正對(duì)放置的平行金屬板a、b構(gòu)成的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，且此區(qū)間內(nèi)還存在著垂直紙面方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₀．已知金屬板的板長(zhǎng)L=0.1m，板間距離d=0.1m，兩板間的電勢(shì)差u_ab隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖2所示．緊貼金屬板a、b的右側(cè)存在半圓形的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.01T，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)的直徑MN=2R=0.2m即為其左邊界，并與中線OO′垂直，且與金屬板a的右邊緣重合于M點(diǎn)．兩個(gè)比荷相同、均為q/m=1×10⁸ C/kg的帶正電的粒子甲、乙先后由靜止開始經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)后，再沿兩金屬板間的中線OO′方向射入平行板a、b所在的區(qū)域．不計(jì)粒子所受的重力和粒子間的相互作用力，忽略偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)兩板間電場(chǎng)的邊緣效應(yīng)，在每個(gè)粒子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)可視作恒定不變．
（1）若粒子甲由t=0.05s時(shí)飛入，恰能沿中線OO′方向通過(guò)平行金屬板a、b正對(duì)的區(qū)域，試分析該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小和方向；
（2）若撤去平行金屬板a、b正對(duì)區(qū)域的磁場(chǎng)，粒子乙恰能以最大動(dòng)能飛入半圓形的磁場(chǎng)區(qū)域，試分析該粒子在該磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求得加速粒子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度，再根據(jù)粒子在ab間運(yùn)動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡求得ab間的磁場(chǎng)強(qiáng)度B₀；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)獲得最大的動(dòng)能，可知粒子進(jìn)入ab時(shí)電場(chǎng)的加速電壓最大，且粒子恰好沿ab極板的下極板邊緣射出電場(chǎng)，求得粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度，進(jìn)入磁場(chǎng)后粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求得粒子圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，從而求得粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可．

解答 解：（1）粒子在加速電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理有：
qU₀=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$=1×10⁵m/s，
由乙圖圖象可知，當(dāng)t=0.05s時(shí)，U_ab=50V
帶電粒子在兩板間運(yùn)動(dòng)時(shí)，恰好沿OO′射出說(shuō)明粒子在復(fù)合場(chǎng)中受到的電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡
所以有：qv₀B₀=qE=q$\frac{{U}_{ab}}dzokb7h$，解得：B₀=$\frac{{U}_{ab}}{d{v}_{\;}}$=5×10^-3T，
據(jù)左手定則知，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里；
（2）撤去平行金屬板正對(duì)磁場(chǎng)，帶電粒子將做類平拋運(yùn)動(dòng)，若獲得最大動(dòng)能，
則有粒子在兩板間的偏轉(zhuǎn)電壓最大且剛好從下板邊緣飛出，據(jù)此有：
水平方向：L=v₀t…①
豎直方向：$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$at²…②
粒子的加速度：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{q{U}_{ab}′}{md}$…③
由①②③可得U_ab′=100V＜200V
可知假設(shè)成立，當(dāng)U_ab=100V時(shí)，粒子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)獲得最大動(dòng)能
粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=1×10^-6s，
粒子離開電場(chǎng)時(shí)在電場(chǎng)方向的上的速度為：v_y=at=1×10⁵m/s=v₀，
所以粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與水平方向成45°角．
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
可得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=$\frac{mv}{qB}$=0.14m，

如圖，由幾何關(guān)系可得：sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{\frac{R}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θ}{2π}$$\frac{2πm}{qB}$=2arcsin$\frac{\sqrt{2}}{4}$×10^-6s；
答：（1）若粒子甲由t=0.05s時(shí)飛入，恰能沿中線OO′方向通過(guò)平行金屬板a、b正對(duì)的區(qū)域，該區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的大小為5×10^-3T，方向垂直紙面向里；
（2）若撤去平行金屬板a、b正對(duì)區(qū)域的磁場(chǎng)，粒子乙恰能以最大動(dòng)能飛入半圓形的磁場(chǎng)區(qū)域，該粒子在該磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2arcsin$\frac{\sqrt{2}}{4}$×10^-6s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在有界磁場(chǎng)和電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)后的速度，由兩極板間勻速列出受力平衡的公式，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度大小及方向，進(jìn)入磁場(chǎng)中根據(jù)題目所給條件畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，借助幾何關(guān)系求解．本題難度中等．