Question

如圖所示，一個(gè)固定的彈性等邊三角形框架ABC，邊長為L，在框內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在AB邊的中點(diǎn)有一個(gè)小孔，現(xiàn)在有一個(gè)電量為+q、質(zhì)量為m且不計(jì)重力的微粒，以某一初速度垂直于AB射入框內(nèi)，微粒與框內(nèi)壁垂直碰撞且能量與電量均不變，碰撞時(shí)間忽略不計(jì)，經(jīng)過若干次這樣的碰撞后又從入射點(diǎn)射出．求：
（1）從射入框內(nèi)到射出框的最短時(shí)間以及對應(yīng)的初速度V₀；
（2）所有滿足條件的初速度及對應(yīng)的框內(nèi)運(yùn)動時(shí)間的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）微粒射入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)微粒與三角形框架碰撞兩次時(shí)，運(yùn)動時(shí)間最短，畫出軌跡，求出周期，再得到最短時(shí)間．由幾何知識求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律求出初速度．
（2）畫出軌跡可能的情況，根據(jù)幾何知識得到軌跡半徑與三角形邊長的關(guān)系，由牛頓第二定律即可求解初速度滿足的條件，由時(shí)間與周期的關(guān)系求出時(shí)間．

解答：解：（1）如圖，由時(shí)間最短知道微粒與AC、BC邊各碰撞一次后從AB邊小孔飛出則分別有：
t_min=

1

2

T=

πm

Bq

對應(yīng)的半徑為：R_max=

1

2

L=

mv0

Bq

解得：v₀=

BqL

2m

                
（2）如圖，R與L之間滿足下式即可：
R（2n+1）=

1

2

L　　（n=0、1、2…）    
即得：R=

L

2(2n+1)

=

mv0

Bq

解得：v₀=

BqL

2(2n+1)m

（n=0、1、2…）       
t=

1

2

T+3nT=

πm

Bq

(6n+1)（n=0、1、2…）
答：
（1）從射入框內(nèi)到射出框的最短時(shí)間為

πm

Bq

，對應(yīng)的初速度v₀是

BqL

2m

．
（2）所有滿足條件的初速度是

BqL

2(2n+1)m

（n=0、1、2…），對應(yīng)的框內(nèi)運(yùn)動時(shí)間的表達(dá)式為t=

1

2

T+3nT=

πm

Bq

(6n+1)（n=0、1、2…）．

點(diǎn)評：本題要通過畫軌跡，分析粒子運(yùn)動的時(shí)間，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力．