Question

12．（1）在建筑砂石料產(chǎn)地或糧庫常將顆粒輸送到高處落下在水平地面自然堆積成圓錐，其示意圖如圖所示；表格記錄了一次在實(shí)驗(yàn)室中用干砂子模擬砂堆所測量的數(shù)據(jù)，表格中H為圓錐高度，L為圓錐底部直徑．
 

H（cm）	4	8	10	12	14	20
L（cm）	50	50	50	60	70	100

試簡要解釋數(shù)據(jù)表格所反映的物理現(xiàn)象并求砂子間的平均摩擦因數(shù)．
（2）現(xiàn)需將總體積為V且顆粒間摩擦因素為μ的砂子在水平平整場地中自然堆放，寫出砂堆所需底部最小面積 S_min的表達(dá)式．（圓錐體積公式$\frac{1}{3}$πr²h ）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)S一定，H增加時(shí)，最外面的顆粒受靜摩擦力增加，達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，H將不能增加，考慮臨界情況；
（2）對最外面的顆粒受力分析，受重力、支持力和最大靜摩擦力，根據(jù)平衡條件列式求解．

解答 解：（1）H＜10cm時(shí)，底部圓直徑未見變化，沙堆的傾角不斷增加，反映了漏下的沙子在表面上的堆積而沒有整體下滑，說明傾角過小，處于表面層的沙子滿足tanα＜μ的關(guān)系；
H＞10cm階段，底部圓直徑與沙堆高度成正比，說明沙堆傾角保持不變，漏下的沙子沿著表面向下滑動，表面的沙子滿足：tan＞μ，沙石間動摩擦因數(shù)μ基本不變，沙堆傾角將維持在最大角α_m；
考慮恰好不滑動的臨界情況，表面沙石受重力、支持力和最大靜摩擦力，根據(jù)平衡條件，有：
mgsinα=μmgcosα
解得：μ=tanα=$\frac{H}{\frac{L}{2}}=\frac{12}{\frac{1}{2}×60}=0.4$；
（2）當(dāng)動摩擦因數(shù)為μ時(shí)，最大靜摩擦力等于重力的下滑分力，有：
mgsinα=μmgcosα
解得：μ=tanα
結(jié)合幾何關(guān)系，有：
tanα=$\frac{H}{\frac{1}{2}L}=\frac{2H}{L}$    ①
故最大面積為：V=$\frac{1}{3}{S}_{min}H=\frac{1}{3}×π{（\frac{L}{2}）}^{2}×H$=$\frac{π{L}^{2}H}{12}$  ②
聯(lián)立解得：
${S}_{min}=\root{3}{\frac{36π{V}^{2}}{{μ}^{2}}}$
答：砂子間的平均摩擦因數(shù)為0.4；
（2）砂堆所需底部最小面積 S_min的表達(dá)式為${S}_{min}=\root{3}{\frac{36π{V}^{2}}{{μ}^{2}}}$．

點(diǎn)評 本題是臨界態(tài)的平衡問題，關(guān)鍵是明確沙堆體積不能無限增加的原因，要考慮臨界情況，對最外層的沙石進(jìn)行受力分析，然后根據(jù)平衡條件列式求解．
共點(diǎn)力平衡的處理方法
（1）三力平衡的基本解題方法
①力的合成、分解法：即分析物體的受力，把某兩個(gè)力進(jìn)行合成，將三力轉(zhuǎn)化為二力，構(gòu)成一對平衡力，二是把重力按實(shí)際效果進(jìn)行分解，將三力轉(zhuǎn)化為四力，構(gòu)成兩對平衡力．
②相似三角形法：利用矢量三角形與幾何三角形相似的關(guān)系，建立方程求解力的方法．應(yīng)用這種方法，往往能收到簡捷的效果．
（2）多力平衡的基本解題方法：正交分解法
利用正交分解方法解體的一般步驟：
①明確研究對象；
②進(jìn)行受力分析；
③建立直角坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是讓盡可能多的力落在坐標(biāo)軸上，將不在坐標(biāo)軸上的力正交分解；
④x方向，y方向分別列平衡方程求解．
注意：求解平衡問題關(guān)鍵在于對物體正確的受力分析，不能多力，也不能少力，對于三力平衡，如果是特殊角度，一般采用力的合成、分解法，對于非特殊角，可采用相似三角形法求解，對于多力平衡，一般采用正交分解法．