Question

不可伸長(zhǎng)的絕緣輕繩長(zhǎng)為R，一端系于O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m、電量為+q 的點(diǎn)電荷，點(diǎn)電荷可在xoy平面內(nèi)繞O點(diǎn)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示，本題計(jì)算中忽略點(diǎn)電荷的重力．
（1）當(dāng)點(diǎn)電荷以速率v沿+y方向通過A（R，0）點(diǎn)的瞬間，在空間中加沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，如圖乙所示，要使點(diǎn)電荷能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E需滿足何條件？
（2）在（1）問中，其他條件不變，將空間中的電場(chǎng)用垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B代替，如圖所示，要使點(diǎn)電荷仍能做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B需滿足何條件？
（3）變化的磁場(chǎng)周圍可以激發(fā)感生電場(chǎng)，若上述磁場(chǎng)隨時(shí)間均勻變化，會(huì)在點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)的圓形軌道上產(chǎn)生一個(gè)環(huán)形電場(chǎng)，其電場(chǎng)線是閉合的，各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等．現(xiàn)在空間加一垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B變化情況如圖丁所示，t=0時(shí)刻點(diǎn)電荷的速率為v，輕繩一直處于伸直狀態(tài)．試求0～T時(shí)間內(nèi)，軌道中形成的感生電場(chǎng)E_感的大小，并在圖戊中作出點(diǎn)電荷在0～5T時(shí)間內(nèi)v～t圖象，要求寫出主要的分析過程．

Answer 1

【答案】分析：（1）要使點(diǎn)電荷能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)到最左端繩子張力F≥0．先根據(jù)動(dòng)能定理求出此時(shí)電荷的速度，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求E需滿足的條件．
（2）磁場(chǎng)垂直紙面向內(nèi)，對(duì)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的洛倫茲力始終指向O點(diǎn)，由洛倫茲力與繩子拉力的合力提供向心力時(shí)，點(diǎn)電荷能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，繩子的拉力F′≥0，由牛頓第二定律列式求解．
（3）分四段時(shí)間分析，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求感生電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)感生電動(dòng)勢(shì)一定時(shí)，點(diǎn)電荷所受電場(chǎng)力大小一定，在圓形軌道上作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出速度的表達(dá)式；當(dāng)感生電動(dòng)勢(shì)為零時(shí)，點(diǎn)電荷不所受電場(chǎng)力，在圓形軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
解答：解：（1）分析可知，點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)到最左端繩子張力最小，設(shè)此時(shí)速度大小為v
由動(dòng)能定理-qE-2R=
在最左端時(shí)qE+F=m
得F=
當(dāng)F≥0時(shí)，點(diǎn)電荷能做完整圓周運(yùn)動(dòng)，解得E≤
（2）磁場(chǎng)垂直紙面向內(nèi)，對(duì)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的洛倫茲力始終指向O點(diǎn)，
對(duì)任一點(diǎn)進(jìn)行受力分析有qvB+F′=
得F′=-qv_oB
當(dāng)F′≥0時(shí)，點(diǎn)電荷能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，解得B
（3）0至T時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)均勻變化，激發(fā)的感生電動(dòng)勢(shì)為E，則
E==S=
感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng) E_感==
①0～T時(shí)間內(nèi)，磁場(chǎng)均勻增加，感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小一定，點(diǎn)電荷在圓形軌道上作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度大小a==
經(jīng)時(shí)間T后，速度大小v₁=v+aT=v+
②T～2T時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)不變，感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為零，點(diǎn)電荷在圓形軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率v₁不變．
③2T～4T時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)均勻減小，感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小一定，點(diǎn)電荷在圓形軌道上作勻
減速圓周運(yùn)動(dòng)，加速度大小a′===
經(jīng)時(shí)間2T后，v₂=v₁-a′（2T）=v+-=v
④4T～5T時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)變，感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為零，點(diǎn)電荷在圓形軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率v不變．
根據(jù)以上結(jié)果，作圖如下．
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E需滿足E≤．
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B需滿足得B．
（3）0～T時(shí)間內(nèi)，軌道中形成的感生電場(chǎng)E_感的大小為．點(diǎn)電荷在0～5T時(shí)間內(nèi)v～t圖象如圖所示．
點(diǎn)評(píng)：本題中帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，關(guān)鍵要找出物理的“最高點(diǎn)”，分析臨界條件，只要點(diǎn)電荷能通過此點(diǎn)，就能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，可與重力場(chǎng)中豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類比，運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓第二定律進(jìn)行分析求解．