Question

13．“天宮一號“是我國自主研發(fā)的目標(biāo)飛行器，是中國空間實(shí)驗(yàn)室的雛形.2013年6月，“神舟十號”與“太空一號”成功對接，6月20日3位航天員為全國中學(xué)生上了一節(jié)生動(dòng)的物理課．現(xiàn)已知“太空一號”飛行器距離地球表面高度為h，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，假設(shè)“天宮一號”環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力常量為G．求：
（1）地球的質(zhì)量M；
（2）地球的第一宇宙速度v；
（3）“天宮一號”的運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力與萬有引力相等，據(jù)此由地球半徑和表面的重力加速度和萬有引力常量求得地球的質(zhì)量；
（2）第一宇宙速度就是繞地球表面運(yùn)行的衛(wèi)星的線速度，由萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得；
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得天宮一號的周期．

解答 解：（1）在地球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
（2）第一宇宙速度是近地衛(wèi)星運(yùn)行的速度，根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$
可得第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$
（3）天宮一號的軌道半徑r=R+h
據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
代入M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$可得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
答：（1）地球的質(zhì)量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）地球的第一宇宙速度v為$\sqrt{gR}$；
（3）“天宮一號”的運(yùn)行周期T為$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

點(diǎn)評 萬有引力應(yīng)用問題主要從以下兩點(diǎn)入手：一是星表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力．