Question

16．如圖1所示，一端封閉的兩條平行光滑長導(dǎo)軌相距L，距左端L處的右側(cè)一段被彎成半徑為$\frac{L}{2}$的四分之一圓弧，圓弧導(dǎo)軌的左、右兩段處于高度相差$\frac{L}{2}$的水平面上．以弧形導(dǎo)軌的末端點O為坐標原點，水平向右為x軸正方向，建立Ox坐標軸．圓弧導(dǎo)軌所在區(qū)域無磁場；左段區(qū)域存在空間上均勻分布，但隨時間t均勻變化的磁場B（t），如圖2所示；右段區(qū)域存在磁感應(yīng)強度大小不隨時間變化，只沿x方向均勻變化的磁場B（x），如圖3所示；磁場B（t）和B（x）的方向均豎直向上．在圓弧導(dǎo)軌最上端，放置一質(zhì)量為m的金屬棒ab，與導(dǎo)軌左段形成閉合回路，金屬棒由靜止開始下滑時左段磁場B（t）開始變化，金屬棒與導(dǎo)軌始終接觸良好，經(jīng)過時間t₀金屬棒恰好滑到圓弧導(dǎo)軌底端．已知金屬棒在回路中的電阻為R，導(dǎo)軌電阻不計，重力加速度為g．

（1）求金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E；
（2）如果根據(jù)已知條件，金屬棒能離開右段磁場B（x）區(qū)域，離開時的速度為v，求金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）如果根據(jù)已知條件，金屬棒滑行到x=x₁位置時停下來，
a．求金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導(dǎo)體棒的電荷量q；
b．通過計算，確定金屬棒在全部運動過程中感應(yīng)電流最大時的位置．

Answer 1

分析 （1）由圖看出，左段區(qū)域中磁感應(yīng)強度隨時間線性變化，其變化率一定，由法拉第電磁感應(yīng)定律得知，回路中磁通量的變化率相同，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出回路中感應(yīng)電動勢．
（2）根據(jù)歐姆定律和焦耳定律結(jié)合求解金屬棒在弧形軌道上滑行過程中產(chǎn)生的焦耳熱．再根據(jù)能量守恒求出金屬棒在水平軌道上滑行的過程中產(chǎn)生的焦耳熱，即可得到總焦耳熱．
（3）在金屬棒滑到圓弧底端進入勻強磁場B₀的一瞬間，在很短的時間△t內(nèi)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和感應(yīng)電流的表達式，求出感應(yīng)電荷量q．再進行討論．

解答 解：（1）由圖2可：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得 感應(yīng)電動勢為：E=$\frac{△Φ}{△t}$=L²$\frac{△B}{△t}$=L²$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$ 
（2）金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，產(chǎn)生的焦耳熱為：Q₁=$\frac{{U}^{2}}{R}t$=$\frac{{L}^{4}{B}_{0}^{2}}{Rt}$
金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，根據(jù)機械能守恒定律得：mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
金屬棒在水平軌道上滑行的過程中，產(chǎn)生的焦耳熱為Q₂，根據(jù)能量守恒定律得：Q₂=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=mg$\frac{L}{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
所以，金屬棒在全部運動過程中產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=Q₁+Q₂=$\frac{{L}^{4}{B}_{0}^{2}}{Rt}$+mg$\frac{L}{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
（3）a．根據(jù)圖3，x=x₁（x₁＜x）處磁場的磁感應(yīng)強度為：B₁=$\frac{B（x-{x}_{1}）}{x}$．
設(shè)金屬棒在水平軌道上滑行時間為△t．由于磁場B（x）沿x方向均勻變化，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律△t時間內(nèi)的平均感應(yīng)電動勢為：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{L{x}_{1}\frac{{B}_{0}+{B}_{1}}{2}}{△t}$=$\frac{{B}_{0}L{x}_{1}（2{x}_{0}-{x}_{1}）}{2{x}_{0}△t}$
所以，通過金屬棒電荷量為：q=$\overline{I}$△t=$\frac{\overline{E}}{R}$△t=$\frac{{B}_{0}L{x}_{1}（2{x}_{0}-{x}_{1}）}{2{x}_{0}R}$
b．金屬棒在弧形軌道上滑行過程中，感應(yīng)電流為：I₁=$\frac{E}{R}$=$\frac{{L}^{2}{B}_{0}}{R{t}_{0}}$
金屬棒在水平軌道上滑行過程中，由于滑行速度和磁場的磁感應(yīng)強度都在減小，所以，此過程中，金屬棒剛進入磁場時，感應(yīng)電流最大．剛進入水平軌道時，金屬棒的速度為：v=$\sqrt{gL}$
所以，水平軌道上滑行過程中的最大電流為：I₂=$\frac{E′}{R}$=$\frac{BL\sqrt{gL}}{R}$
若金屬棒自由下落高度$\frac{L}{2}$，經(jīng)歷時間t=$\sqrt{\frac{L}{g}}$，顯然t＞t
所以，I₁=$\frac{{L}^{2}{B}_{0}}{R{t}_{0}}$＜$\frac{{L}^{2}{B}_{0}}{Rt}$=$\frac{{L}^{2}B}{R\sqrt{\frac{L}{g}}}$=I₂．
綜上所述，金屬棒剛進入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應(yīng)電流最大．
答：（1）金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E是L²$\frac{{B}_{0}}{{t}_{0}}$．
（2）金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q為$\frac{{L}^{4}{B}_{0}^{2}}{Rt}$+mg$\frac{L}{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$．
（3）a．金屬棒在水平軌道上滑動過程中通過導(dǎo)體棒的電荷量q為$\frac{{B}_{0}L{x}_{1}（2{x}_{0}-{x}_{1}）}{2{x}_{0}R}$．
b．金屬棒在全部運動過程中金屬棒剛進入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應(yīng)電流最大．

點評 本題中（1）（2）問，磁通量均勻變化，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流均恒定，由法拉第電磁感應(yīng)定律研究感應(yīng)電動勢是關(guān)鍵．對于感應(yīng)電荷量，要能熟練地應(yīng)用法拉第定律和歐姆定律進行推導(dǎo)．