Question

（2013?順義區(qū)一模）1986年2月20日發(fā)射升空的“和平號(hào)”空間站，在服役15年后于2001年3月23日墜落在南太平洋．“和平號(hào)”風(fēng)風(fēng)雨雨15年鑄就了輝煌業(yè)績，已成為航天史上的永恒篇章．
“和平號(hào)”空間站總質(zhì)量137t，工作容積超過400m³，是迄今為止人類探索太空規(guī)模最大的航天器，有“人造天宮”之稱．在太空運(yùn)行的這一“龐然大物”按照地面指令準(zhǔn)確墜落在預(yù)定海域，這在人類歷史上還是第一次．“和平號(hào)”空間站正常運(yùn)行時(shí)，距離地面的平均高度大約為350km．為保證空間站最終安全墜毀，俄羅斯航天局地面控制中心對(duì)空間站的運(yùn)行做了精心安排和控制．在墜毀前空間站已經(jīng)順利進(jìn)入指定的低空軌道，此時(shí)“和平號(hào)”距離地面的高度大約為240km．在“和平號(hào)”沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，其軌道高度平均每晝夜降低2.7km．
設(shè)“和平號(hào)”空間站正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)沿高度為350km圓形軌道運(yùn)行，在墜落前沿高度為240km的指定圓形低空軌道運(yùn)行．而且沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周空間站高度變化很小，因此計(jì)算時(shí)對(duì)空間站的每一周的運(yùn)動(dòng)都可以作為勻速圓周運(yùn)動(dòng)處理．
（1）簡要說明，為什么空間站在沿圓軌道正常運(yùn)行過程中，其運(yùn)動(dòng)速率是不變的；
（2）空間站沿著正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)加速度大小的比值為多大？計(jì)算結(jié)果保留2位有效數(shù)字；
（3）空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過程中空間站高度平均變化多大？計(jì)算中取地球半徑R=6.4×10³km，計(jì)算結(jié)果保留1位有效數(shù)字．

Answer 1

分析：（1）空間站沿圓軌道運(yùn)行過程中，僅受萬有引力作用，所受到的萬有引力與空間站運(yùn)行方向垂直，萬有引力完全提供向心力，引力對(duì)空間站不做功，根據(jù)動(dòng)能定理，空間站沿圓軌道運(yùn)行過程中，其運(yùn)動(dòng)速率是不變的．
（2）不論空間站沿正常軌道運(yùn)行，還是沿指定的低空軌道運(yùn)行，萬有引力是空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有G

Mm

r2

=ma，得a=

GM

r2

．加速度與軌道半徑的平方成反比，代入數(shù)據(jù)求比值．
（3）萬有引力提供空間站運(yùn)行時(shí)的向心力G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響，有G

Mm

R2

=mg，則空間站在指定的低空軌道空間站運(yùn)行的周期為T=2π

r3 GM

=2π

r3 gR2

，代入數(shù)據(jù)可計(jì)算出T的值．每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運(yùn)行圈數(shù)為n=

24h

T

，所以空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過程中空間站高度平均減小△h=

2.7km

n

，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．

解答：解：（1）空間站沿圓軌道運(yùn)行過程中，僅受萬有引力作用，所受到的萬有引力與空間站運(yùn)行方向垂直，引力對(duì)空間站不做功，根據(jù)動(dòng)能定理，空間站沿圓軌道運(yùn)行過程中，其運(yùn)動(dòng)速率是不變的．
（2）不論空間站沿正常軌道運(yùn)行，還是沿指定的低空軌道運(yùn)行，萬有引力是空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
G

Mm

r2

=ma
空間站運(yùn)行時(shí)向心加速度是a=

GM

r2

，空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與在沿指定的低空軌道運(yùn)行的半徑分別為：
r₁=R+h₁=6.75×10³km；
r₂=R+h₂=6.64×10³km；
加速度大小的比值是

a1

a2

=

r 2 2

r 2 1

=（

6.64

6.65

）²=0.984²=0.97
（3）萬有引力提供空間站運(yùn)行時(shí)的向心力，有G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
不計(jì)地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)G

Mm

R2

=mg，有GM=R²g
則空間站在指定的低空軌道空間站運(yùn)行的周期為：
T=2π

r3 GM

=2π

r3 gR2

=2×3.14

(6.64×106)3 (6.4×106)2×10

s=5.3×10³s；
一晝夜的時(shí)間為t=24h，則每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運(yùn)行圈數(shù)為：
n=

t

n

≈16
空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過程中空間站高度平均減�。�
△h=

2.7km

n

=

2.7km

16

≈2×10^-1m．
答：（1）空間站沿圓軌道運(yùn)行過程中，僅受萬有引力作用，所受到的萬有引力與空間站運(yùn)行方向垂直，引力對(duì)空間站不做功，根據(jù)動(dòng)能定理，空間站沿圓軌道運(yùn)行過程中，其運(yùn)動(dòng)速率是不變的．
（2）空間站沿正常軌道運(yùn)行時(shí)的加速度與沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)加速度大小的比值為0.97．
（3）空間站沿指定的低空軌道運(yùn)行時(shí)，每運(yùn)行一周過程中空間站高度平均變化約為2×10^-1m．

點(diǎn)評(píng)：本題要求知道解決天體運(yùn)動(dòng)問題的一般方法：萬有引力提供向心力；星球表面的重力等于萬有引力．同時(shí)要注意第三問的結(jié)果要求保留1位有效數(shù)字，這是容易出錯(cuò)的地方，要小心．