Question

渦流制動(dòng)是一種利用電磁感應(yīng)原理工作的新型制動(dòng)方式，它的基本原理如圖甲所示．水平面上固定一塊鋁板，當(dāng)一豎直方向的條形磁鐵在鋁板上方幾毫米高度上水平經(jīng)過時(shí)，鋁板內(nèi)感應(yīng)出的渦流會(huì)對磁鐵的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生阻礙作用．渦流制動(dòng)是磁懸浮列車在高速運(yùn)行時(shí)進(jìn)行制動(dòng)的一種方式．某研究所制成如圖乙所示的車和軌道模型來定量模擬磁懸浮列車的渦流制動(dòng)過程．車廂下端安裝有電磁鐵系統(tǒng)，能在長為L₁=0.6m，寬L₂=0.2m的矩形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生豎直方向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度可隨車速的減小而自動(dòng)增大（由車內(nèi)速度傳感器控制），但最大不超過B₁=2T，將鋁板簡化為長大于L₁，寬也為L₂的單匝矩形線圈，間隔鋪設(shè)在軌道正中央，其間隔也為L₂，每個(gè)線圈的電阻為R₁=0.1Ω，導(dǎo)線粗細(xì)忽略不計(jì)．在某次實(shí)驗(yàn)中，模型車速度為v₀=20m/s時(shí)，啟動(dòng)電磁鐵系統(tǒng)開始制動(dòng)，車立即以加速度a₁=2m/s²做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加到B₁時(shí)就保持不變，直到模型車停止運(yùn)動(dòng)．已知模型車的總質(zhì)量為m₁=36kg，空氣阻力不計(jì)．不考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象以及線圈激發(fā)的磁場對電磁鐵產(chǎn)生磁場的影響．

（1）電磁鐵的磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大時(shí)，模型車的速度為多大？
（2）模型車的制動(dòng)距離為多大？
（3）為了節(jié)約能源，將電磁鐵換成若干個(gè)并在一起的永磁鐵組，兩個(gè)相鄰的磁鐵磁極的極性相反，且將線圈改為連續(xù)鋪放，如圖丙所示，已知模型車質(zhì)量減為m₂=20kg，永磁鐵激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度恒為B₂=0.1T，每個(gè)線圈匝數(shù)為N=10，電阻為R₂=1Ω，相鄰線圈緊密接觸但彼此絕緣．模型車仍以v₀=20m/s的初速度開始減速，為保證制動(dòng)距離不大于80m，至少安裝幾個(gè)永磁鐵？

Answer 1

分析：當(dāng)磁場在固定的線圈上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，出現(xiàn)的感應(yīng)磁場阻礙磁場的運(yùn)動(dòng)．當(dāng)磁場達(dá)到最強(qiáng)時(shí)，且處于恒定，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速度，再由牛頓第二定律可得出安培力，從而求出線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢，最后確定線圈運(yùn)動(dòng)的速度；在制動(dòng)過程中，線圈的加速度不是恒定，則可用動(dòng)能定理求出制動(dòng)距離．

解答：解：（1）假設(shè)電磁鐵的磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大時(shí)，模型車的速度為v₁則E₁=B₁L₁v₁①
     I1=

E1

R1

②
     F₁=B₁I₁L₁③
     F₁=m₁a₁④
由①②③④式并代入數(shù)據(jù)得v₁=5m/s⑤
（2）x1=

v 2 0 - v 2 1

2a1

⑥
由第（1）問的方法同理得到磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大以后任意速度v時(shí)，安培力的大小為F=

B 2 1 L 2 1 v

R1

⑦
對速度v₁后模型車的減速過程用動(dòng)量定理得

.

F

?t=m1v1⑧

.

v

?t=x2⑨
x=x₁+x₂⑩
由⑥⑦⑧⑨⑩并代入數(shù)據(jù)得x=106.25m（11）
（3）假設(shè)需要n個(gè)永磁鐵
當(dāng)模型車的速度為v時(shí)，每個(gè)線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為E₂=2NB₂L₁v（12）
每個(gè)線圈中的感應(yīng)電流為I2=

E2

R2

每個(gè)磁鐵受到的阻力為F₂=2NB₂I₂L₁（13）
n個(gè)磁鐵受到的阻力為F_合=2nNB₂I₂L₁（14）
由第（2）問同理可得n

4N2 B 2 2 L 2 1

R2

x=m2v0（15）
由（11）（15）并代入已知得n=3.47
即至少需要4個(gè)永磁鐵．

點(diǎn)評：本題物理情境很新，但仍是常規(guī)物理模型，類似于磁場不動(dòng)線圈在動(dòng)的題型．在模型車的減速過程中，加速度不恒定，則用動(dòng)能定理來解決．