Question

如圖6-5-1，假設宇宙中有三顆質量均為m的星,彼此相距為L,且保持不變,試證明這三顆行星必然繞共同的中心做勻速圓周運動,并求出其做勻速圓周運動的周期和線速度.

圖6-5-1

Answer 1

證明:根據題意畫出此三顆恒星的位置示意圖如圖6-5-2所示.此三顆恒星構成正三角形，其邊長為L且保持不變，則每顆恒星所受另外兩顆恒星的萬有引力的合力的大小為.

    每顆恒星受到另外兩顆恒星的萬有引力的合力提供了該恒星做勻速圓周運動的向心力.此三顆行星a、b、c所受的合力分別為F_a、F_b、F_c,且三力均等于,此三力的作用線相交于O點,O點即為此三顆星的“質量中心”(質心).顯然,此三顆恒星只有都繞著O點以相同的速率、相同的周期、沿著同一軌道、同一方向做勻速圓周運動時,才能保持彼此之間的距離不變.否則將會因為相互間的萬有引力而聚集在一起.由圖6-5-2可知,圓軌道的半徑為R=3L/3.每顆恒星需要的向心力為F_向=F_合=,則可有,故.其運行周期是.

    又由于,則運行線速度.

圖6-5-2

答案:線速度,其周期是.