Question

7．某行星表面沒有氣體，在它的表面附近作勻速圓周運動的衛(wèi)星的環(huán)繞周期為T，如果宇航員在這個行星地面上以初速度V₀豎直向上拋出一石塊，石塊經(jīng)過時間t再次回到宇航員手中．已知萬有引力恒量為G，求該行星的質(zhì)量及平均密度？

Answer 1

分析 在天上飛就列萬有引力提供向心力的公式，在地面上求出重力加速度，列黃金代換的公式，密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，聯(lián)立求解即可．

解答 解：衛(wèi)星在表面附近，可認(rèn)為其軌道半徑r等于行星半徑R，設(shè)行星質(zhì)量M，衛(wèi)星質(zhì)量m，
由萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$，
解得：GM=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}}$…①
在星球上：設(shè)行星表面重力加速度為g，由：V₀=g•$\frac{t}{2}$得：g=$\frac{2{V}_{0}}{t}$，
由黃金代換：GM=gR²
得：GM=$\frac{2{V}_{0}{R}^{2}}{t}$…②
密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$…③
聯(lián)立①②③解得：M=$\frac{{V}_{0}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{3}}$
密度ρ=$\frac{3{T}^{2}}{8G{π}^{5}}$
答：該行星的質(zhì)量為：$\frac{{V}_{0}^{3}{T}^{4}}{2G{π}^{4}{t}^{3}}$；平均密度為$\frac{3{T}^{2}}{8G{π}^{5}}$．

點評 萬有引力與航天的題目，在天上就列萬有引力提供向心力的公式，在地面上就列黃金代換的公式，是處理這類題目的通法．