Question

2．組成星球的物質靠引力吸引在一起隨星球自轉．如果某質量分布均勻的星球自轉周期為T，萬有引力常量為G，為使該星球不至于瓦解，該星球的密度至少是（　�。�

• A． $\frac{4π}{{G{T^2}}}$
• B． $\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• C． $\frac{2π}{{G{T^2}}}$
• D． $\frac{π}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 由題意可知當周期達到某一最小值時，物體對星球表面應剛好沒有壓力，即萬有引力恰好充當星球表面的物體在星球表面做圓周運動的向心力；故由萬有引力公式可求得最小密度．

解答 解：由$F=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$可得周期越小，物體需要的向心力越大，物體對星球表面的壓力最小，當周期小到一定值時，壓力為零，此時萬有引力充當向心力，即：
$\frac{GMm}{R^2}=m（\frac{2π}{T}{）^2}R$
又$M=ρ\frac{4}{3}π{R^3}$
聯(lián)立解得：ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
故選：B

點評 星球表面的物體受到星球萬有引力的作用充當物體的向心力及支持力，星球的轉動角速度越大、周期越小時，則需要的向心力越大，則物體所受支持力越小；而當向心力大到一定值時，物體會離開星球表面．