Question

（2012?聊城模擬）如圖所示，一水平傳送裝置由輪半徑均為R=

1

π

m的主動(dòng)輪Q₁和從動(dòng)輪Q₂及傳送帶等構(gòu)成．兩輪軸心相距l(xiāng)_AB=8.0m，輪與傳送帶不打滑．現(xiàn)用此裝置運(yùn)送一袋面粉，已知這袋面粉與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，這袋面粉中的面粉可不斷地從袋中滲出．（g取10m/s²） 
（1）當(dāng)傳送帶以4.0m/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將這袋面粉由左端Q₂正上方的A點(diǎn)輕放在傳送帶上后，這袋面粉由A端運(yùn)送到Q₁正上方的B端所用的時(shí)間為多少？
（2）要想盡快將這袋面粉由A端送到B端（設(shè)初速度仍為零），主動(dòng)輪Q₁的轉(zhuǎn)速至少應(yīng)為多大？
（3）由于面粉的滲漏，在運(yùn)送這袋面粉的過(guò)程中會(huì)在深色傳送帶上留下白色痕跡，這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長(zhǎng)能有多長(zhǎng)（設(shè)袋的初速度仍為零）？此時(shí)主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速應(yīng)滿足何種條件？

Answer 1

分析：（1）面粉在傳送帶上先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到傳送帶速度一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出面粉由A端運(yùn)送到Q₁正上方的B端所用的時(shí)間．
（2）要想時(shí)間最短，面粉袋應(yīng)一直向B端做加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出傳送帶的最小速度，從而根據(jù)v=ωR=2πnR求出主動(dòng)輪Q₁的轉(zhuǎn)速的最小值．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長(zhǎng)．當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長(zhǎng)．痕跡的長(zhǎng)度等于相對(duì)路程的大小，通過(guò)面粉袋的位移求出傳送帶的位移，通過(guò)時(shí)間求出主動(dòng)輪的最小速度，從而求出轉(zhuǎn)速的最小值．

解答：解：設(shè)面粉袋的質(zhì)量為m，其在與傳送帶產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)的過(guò)程中所受的摩擦力f=μmg
故而其加速度為：a=

f

m

=μg=4.0 m/s²．
（1）若傳送帶的速度v_帶=4.0 m/s，則：
面粉袋加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁=

v

a

=1.0 s
在t₁時(shí)間內(nèi)面粉袋的位移s₁=

1

2

at_2=2.0 m
其后以v=4.0 m/s的速度做勻速運(yùn)動(dòng)
s₂=l_AB-s₁=vt₂
解得：t₂=1.5 s
故這袋面粉運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：t=t₁+t₂=2.5 s．
（2）要想時(shí)間最短，面粉袋應(yīng)一直向B端做加速運(yùn)動(dòng)，由l_AB=

1

2

at′²可得：t′=2.0 s
此時(shí)傳送帶的運(yùn)轉(zhuǎn)速度最小為：v′=at′=8.0 m/s
v=ωr=2πnR可得：轉(zhuǎn)速的最小值n=240 r/min（或4 r/s）．
（3）傳送帶的速度越大，“痕跡”越長(zhǎng)．當(dāng)面粉的痕跡布滿整條傳送帶時(shí)，痕跡達(dá)到最長(zhǎng)．即痕跡長(zhǎng)△s=2l+2πR=18.0 m
在面粉袋由A端運(yùn)動(dòng)到B端的時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的距離s_帶=△s+l_AB=26.0 m
又由（2）已知t′=2.0 s
故而有：2πn′R≥

s

t′

則：n′≥390 r/min（或6.5 r/s）．
答：（1）這袋面粉由A端運(yùn)送到Q₁正上方的B端所用的時(shí)間為2.5s．
（2）轉(zhuǎn)速的最小值n=240 r/min．
（3）這袋面粉在傳送帶上留下的痕跡最長(zhǎng)能有18.0m，此時(shí)主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)速n′≥390 r/min．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清面粉袋的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．