Question

18．滑板運動是一項陸地上的“沖浪運動”，滑板運動員可在不同的滑坡上滑行，做出各種動作給人以美的享受．如圖甲所示，abcdef為同一豎直平面上依次平滑連接的滑行軌道，其中ab段水平，H=3m，bc段和cd段均為斜直軌道，傾角θ=37°，de段是一半徑R=2.5m的四分之一圓弧軌道，o點為圓心，其正上方的d點為圓弧的最高點，滑板及運動員總質量m=60kg，運動員滑經(jīng)d點時軌道對滑板支持力用N_d表示，忽略摩擦阻力和空氣阻力，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．除下述問（3）中運動員做緩沖動作以外，均可把滑板及運動員視為質點．

（1）運動員從bc段緊靠b處無初速滑下，求N_d的大�。�
（2）運動員逐漸減小從bc上無初速下滑時距水平地面的高度h，請在圖乙的坐標圖上作出N_d-h圖象（只根據(jù)作出的圖象評分，不要求寫出計算過程和作圖依據(jù)）；
（3）運動員改為從b點以υ₀=4m/s的速度水平滑出，落在bc上時通過短暫的緩沖動作使他只保留沿斜面方向的速度繼續(xù)滑行，則他是否會從d點滑離軌道？請通過計算得出結論．

Answer 1

分析 （1）運動員從開始滑下至滑到d點，由機械能守恒定律求出d點速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對滑板支持力．
（2）根據(jù)N_d-h的關系式作圖．
（3）運動員離開b點做平拋運動，落在斜面上時，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值等于tanθ，根據(jù)這一關系求出運動的時間，從而求出落在斜面上時在豎直方向上的分速度．落在bc上時通過短暫的緩沖動作使他只保留沿斜面方向的速度繼續(xù)滑行，對落地點的速度沿垂直斜面方向和沿斜面方向正交分解，求出沿斜面方向的分速度，即為沿斜面滑行的速度，然后根據(jù)動能定理求出d點的速度，與d點的臨界速度進行比較，判斷是否會從d點滑離軌道．

解答 解：（1）從開始滑下至d點，由機械能守恒定律得
  $mg（H-R）=\frac{1}{2}m{υ^2}$  ①
在d點，根據(jù)牛頓第二定律得 $mg-{N_d}=\frac{{m{υ^2}}}{R}$ ②
由①②得：${N_d}=mg（3-\frac{2H}{R}）=360N$ ③
（2）所求的N_d-h圖象如圖所示．
（3）當以υ₀=4m/s從b點水平滑出時，運動員做平拋運動落在Q點，如圖所示．設Bq=s₁，則
   s₁sin37°=$\frac{1}{2}$gt² ④
   s₁cos37°=v₀t  ⑤
在Q點緩沖后  ${υ_Q}={υ_y}sin{37^0}+{υ_0}cos{37^0}=6.8m/s$  ⑧
從Q→d得 $mg（H-\frac{1}{2}g{t^2}）-mgR=\frac{1}{2}mυ_d^2-\frac{1}{2}mυ_Q^2$ ⑨
運動員恰從d點滑離軌道應滿足：$mg=\frac{{mυ_d^{′2}}}{R}$ ⑩
由⑨⑩得$υ_d^{′2}-υ_d^2=4.76$即$υ_d^′＞{υ_d}$（11）
見滑板運動員不會從圓弧最高點d滑離軌道．
答：
（1）若運動員從bc 段緊靠b處無初速度滑下，N_d的大小是360N．
（2）如上圖．
（3）滑板運動員不會從圓弧最高點d滑離軌道．

點評 解決本題的關鍵知道平拋運動落在斜面上，豎直方向上的位移和水平方向上的位移的比值是定值，根據(jù)該關系可求出時間．以及在外軌道做圓周運動，最高點有最大速度，此時正壓力為0，有重力等于向心力．