Question

如圖所示，在傾角θ=30°、足夠長的斜面上分別固定著兩個(gè)相距L=0.2 m的物體A、B，它們的質(zhì)量m_A=m_B=1 kg，與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為和。在t=0時(shí)刻同時(shí)撤去固定兩物體的外力后，A物體將沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，并與B物體發(fā)生連續(xù)碰撞（碰撞時(shí)間極短，忽略不計(jì)），每次碰后兩物體交換速度。g取10 m/s²。求：
（1）A與B第一次碰后瞬間B的速率？
（2）從A開始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰經(jīng)歷多長時(shí)間？
（3）從A開始運(yùn)動(dòng)至第n次碰撞時(shí)A、B兩物體通過的路程分別是多少？

Answer 1

解：A物體沿斜面下滑時(shí)：m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A，所以a_A=gsinθ-μ_Agcosθ

B物體沿斜面下滑時(shí)有：m_Bgsinθ-μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B，所以a_B=gsinθ-μ_Bgcosθ

（1）由上面可知，撤去固定A、B的外力后，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜而向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)
A與B第一次碰撞前的速度

故A、B第一次碰后瞬間，B的速率v'_B1=v_A1=1 m/s
（2）從A開始運(yùn)動(dòng)到第一次碰撞用時(shí)：
兩物體相碰后，A物體的速度變?yōu)榱�，之后再做勻加速運(yùn)動(dòng)，而B物體將以v'_B1=1 m/s的速度沿斜面向下做勻速直線運(yùn)動(dòng)
設(shè)再經(jīng)t₂時(shí)間相碰，則有
解之可得t₂=0.8 s
故從A開始運(yùn)動(dòng)到兩物體第二次相碰，共經(jīng)歷時(shí)間t=t₁+t₂=0.4 s+0.8 s=1.2 s
（3）碰后A、B交換速度，碰后B的速度均要比A的速度大1 m/s
，即
從第2次碰撞開始，每次A物體運(yùn)動(dòng)到與B物體碰撞前，速度增加量均為△v=a△t=2.5×0.8 m/s=2 m/s。由于碰后速度交換，因而碰后B物體的速度為：
第一次碰后：v_B1=1 m/s
第二次碰后：v_B2=2 m/s
第三次碰后：v_B3=3 m/s
……
第n次碰后：v_Bn=n m/s
每段時(shí)間內(nèi)，B物體都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則第n次碰時(shí)所運(yùn)動(dòng)的距離為n-1)
A物體比B物體多運(yùn)動(dòng)L長度，則