Question

如圖所示，半徑為R、圓心為O的大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，兩個(gè)輕質(zhì)小圓環(huán)套在大圓環(huán)上。一根輕質(zhì)長(zhǎng)繩穿過(guò)兩個(gè)小圓環(huán)，它的兩端都系上質(zhì)量為m的重物，忽略小圓環(huán)的大小。
（1）將兩個(gè)小圓環(huán)固定在大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸的兩側(cè)θ=30°的位置上(如圖)。在兩個(gè)小圓環(huán)間繩子的中點(diǎn)C處，掛上一個(gè)質(zhì)量M=m的重物，使兩個(gè)小圓環(huán)間的繩子水平，然后無(wú)初速釋放重物M。設(shè)繩子與大、小圓環(huán)間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離。
（2）若不掛重物M，小圓環(huán)可以在大圓環(huán)上自由移動(dòng)，且繩子與大、小圓環(huán)間及大、小圓環(huán)之間的摩擦均可以忽略，問(wèn)兩個(gè)小圓環(huán)分別在哪些位置時(shí)，系統(tǒng)可處于平衡狀態(tài)？

Answer 1

解：(1)重物向下先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)重物速度為零時(shí)，下降的距離最大。設(shè)下降的最大距離為h，由機(jī)械能守恒定律得

解得（另解h=0舍去）
(2)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩小環(huán)的可能位置為
a．兩小環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的底端
b．兩小環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的頂端
c．兩小環(huán)一個(gè)位于大圓環(huán)的頂端，另一個(gè)位于大圓環(huán)的底端
d．除上述三種情況外，根據(jù)對(duì)稱性可知，系統(tǒng)如能平衡，則兩小圓環(huán)的位置一定關(guān)于大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸對(duì)稱。設(shè)平衡時(shí)，兩小圓環(huán)在大圓環(huán)豎直對(duì)稱軸兩側(cè)α角的位置上(如圖所示)

對(duì)于重物m，受繩子拉力T與重力mg作用，有
對(duì)于小圓環(huán)，受到三個(gè)力的作用，水平繩子的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環(huán)的支持力N。兩繩子的拉力沿大圓環(huán)切向的分力大小相等，方向相反

得，而，所以