Question

【題目】設(shè)想在地球赤道平面內(nèi)有一垂直于地面延伸到太空的輕質(zhì)電梯，電梯頂端可超過(guò)地球的同步衛(wèi)星高度（從地心算起）延伸到太空深處。這種所謂的太空電梯可用于低成本地發(fā)射繞地人造衛(wèi)星，其發(fā)射方法是將衛(wèi)星通過(guò)太空電梯勻速地提升到某高度，然后啟動(dòng)推進(jìn)裝置將衛(wèi)星從太空電梯發(fā)射出去。

（1）、設(shè)在某次發(fā)射時(shí)，衛(wèi)星在太空電梯中極其緩慢地勻速上升，該衛(wèi)星在上升到0.80處意外地和太空電梯脫離（脫離時(shí)衛(wèi)星相對(duì)于太空電梯上脫離處的速度可視為零）而進(jìn)入太空。

a.論證衛(wèi)星脫落后不會(huì)撞擊地面。

b.如果衛(wèi)星脫落后能再次和太空電梯相遇，即可在它們相遇時(shí)回收該衛(wèi)星。討論該衛(wèi)星從脫落時(shí)刻起，在0~12小時(shí)及12~24小時(shí)兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)被太空該電梯回收的可能性。

（2）如果太空電梯地點(diǎn)位于東經(jīng)110度處，在太空電梯上離地心距離為處有一衛(wèi)星從電梯脫落（脫落時(shí)衛(wèi)星相對(duì)于太空電梯上脫落處的速度可視為零），脫落后該衛(wèi)星軌道剛好能和赤道某處相切，而使衛(wèi)星在該點(diǎn)著地，試求衛(wèi)星著地點(diǎn)的經(jīng)度。提示：此問(wèn)要用數(shù)值方法求解高次方程。

已知：地球質(zhì)量，半徑的球體；引力恒量；地球自轉(zhuǎn)周期小時(shí)；假設(shè)衛(wèi)星與太空電梯脫落后只受地球引力作用。

Answer 1

【答案】（1）a. 衛(wèi)星不會(huì)撞擊地球 b. 可以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星回收.（2）

【解析】

（1）a．通過(guò)計(jì)算衛(wèi)星在脫離點(diǎn)的動(dòng)能和萬(wàn)有引力勢(shì)能可知，衛(wèi)星的機(jī)械能為負(fù)值. 由開(kāi)普勒第一定律可推知，此衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓（或圓），地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)(或圓的圓心)，如圖所示.由于衛(wèi)星在脫離點(diǎn)的速度垂直于地心和脫離點(diǎn)的連線，因此脫離點(diǎn)必為衛(wèi)星橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)（或近地點(diǎn)）；設(shè)近地點(diǎn)（或遠(yuǎn)地點(diǎn)）離地心的距離為，衛(wèi)星在此點(diǎn)的速度為.由開(kāi)普勒第二定律可知

①

式中為地球自轉(zhuǎn)的角速度.令表示衛(wèi)星的質(zhì)量，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

②

由①和②式解得

③

可見(jiàn)該點(diǎn)為近地點(diǎn),而脫離處為遠(yuǎn)地點(diǎn).

【③式結(jié)果亦可由關(guān)系式：

直接求得】

同步衛(wèi)星的軌道半徑滿足

④

由③和④式并代入數(shù)據(jù)得

⑤

可見(jiàn)近地點(diǎn)到地心的距離大于地球半徑，因此衛(wèi)星不會(huì)撞擊地球.

b．由開(kāi)普勒第二定律可知衛(wèi)星的面積速度為常量，從遠(yuǎn)地點(diǎn)可求出該常量為

⑥

設(shè)和分別為衛(wèi)星橢圓軌道的半長(zhǎng)軸和半短軸，由橢圓的幾何關(guān)系有

⑦

⑧

衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期為

⑨

代人相關(guān)數(shù)值可求出

⑩

衛(wèi)星剛脫離太空電梯時(shí)恰好處于遠(yuǎn)地點(diǎn)，根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知此時(shí)刻衛(wèi)星具有最小角速度，其后的一周期內(nèi)其角速度都應(yīng)不比該值小，所以衛(wèi)星始終不比太空電梯轉(zhuǎn)動(dòng)得慢；換言之，太空電梯不可能追上衛(wèi)星.設(shè)想自衛(wèi)星與太空電梯脫離后經(jīng)過(guò)（約14小時(shí)），衛(wèi)星到達(dá)近地點(diǎn)，而此時(shí)太空電梯已轉(zhuǎn)過(guò)此點(diǎn)，這說(shuō)明在此前衛(wèi)星尚未追上太空電梯.由此推斷在衛(wèi)星脫落后的0-12小時(shí)內(nèi)二者不可能相遇；而在衛(wèi)星脫落后12-24小時(shí)內(nèi)衛(wèi)星將完成兩個(gè)多周期的運(yùn)動(dòng)，同時(shí)太空電梯完成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期，所以在12-24小時(shí)內(nèi)二者必相遇，從而可以實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星回收.

（2）根據(jù)題意，衛(wèi)星軌道與地球赤道相切點(diǎn)和衛(wèi)星在太空電梯上的脫離點(diǎn)分別為其軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn).在脫離處的總能量為

此式可化為

這是關(guān)于的四次方程，用數(shù)值方法求解可得

【亦可用開(kāi)普勒第二定律和能量守恒定律求得.令表示衛(wèi)星與赤道相切點(diǎn)即近地點(diǎn)的速率，則有

和

由上兩式聯(lián)立可得到方程

其中除外其余各量均已知,因此這是關(guān)于的五次方程.同樣可以用數(shù)值方法解得.】

衛(wèi)星從脫離太空電梯到與地球赤道相切經(jīng)過(guò)了半個(gè)周期的時(shí)間，為了求出衛(wèi)星運(yùn)行的周期，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為，半短軸為，有

因?yàn)槊娣e速度可表示為

所以衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為

代入相關(guān)數(shù)值可得

h

衛(wèi)星與地球赤道第一次相切時(shí)已在太空中運(yùn)行了半個(gè)周期，在這段時(shí)間內(nèi)，如果地球不轉(zhuǎn)動(dòng)，衛(wèi)星沿地球自轉(zhuǎn)方向運(yùn)行180度，落到西經(jīng)處與赤道相切.但由于地球自轉(zhuǎn)，在這期間地球同時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)了角度，地球自轉(zhuǎn)角速度

，

因此衛(wèi)星與地球赤道相切點(diǎn)位于赤道的經(jīng)度為西經(jīng)

即衛(wèi)星著地點(diǎn)在赤道上約西經(jīng)121度處.