Question

10．如圖所示，相距均為L的光滑傾斜導軌MN、PQ與光滑水平導軌NS、QT連接，水平導軌處在磁感應強度大小為B，方向豎直向上的勻強磁場中．光滑傾斜導軌處在磁感應強度大小也為B，方向垂直于傾斜導軌平面斜向下的勻強磁場中，如圖．質量均為m、電阻均為R的金屬導體棒ab、cd垂直于導軌分別放在傾斜導軌和水平導軌上，并與導軌接觸良好，不計導軌電阻．現(xiàn)用絕緣細線通過定滑輪將金屬導體棒ab、cd連接起來．質量為2m的物體C用絕緣細線通過定滑輪與金屬導體棒cd連接．細線沿導軌中心線且在導軌平面內，細線及滑輪質量、滑輪摩擦均不計．已知傾斜導軌與水平面的夾角θ=30⁰，重力加速度為g，導軌足夠長，導體棒ab始終不離開傾斜導軌，導體棒cd始終不離開水平導軌．物體C由靜止釋放，當它達到最大速度時下落高度h=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$，試求這一運動過程中：
（1）物體C能達到的最大速度V_m是多少？
（2）金屬棒ab產生的焦耳熱是多少？
（3）連接ab棒的細線對ab棒做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）由靜止釋放M，ab棒先向上做加速運動，cd棒在水平方向做加速運動，隨著速度增大，產生的感應電流增大，所受的安培力增大，加速度減小，當加速度為零時做勻速運動，速度就達到最大值．根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律推導出安培力與速度的關系式，結合平衡條件求解最大速度．
（2）在ab棒和cd棒從開始運動到勻速運動的過程中，系統(tǒng)的重力勢能減小，轉化為系統(tǒng)增加的動能和焦耳熱，根據(jù)能量守恒求出總的焦耳熱，再由焦耳定律求電阻ab上產生的熱量．
（3）對導體棒ab，這一過程中細線對其做的功為W，轉化為棒的動能、重力勢能和產生的內能，則由能的轉化和守恒定律即可求得結果．

解答 解：（1）設C達到的最大速度為v_m，由法拉弟電磁感應定律得回路的感應電動勢為：E=2BLv_m…①
由歐姆定律得回路中的電流強度為：I=$\frac{E}{2R}$…②
金屬導體棒ab、cd受到的安培力為：F=BIL…③
設連接金屬導體棒ab與cd的細線中張力為T₁，連接金屬導體棒cd與物體C的細線中張力為T₂，導體棒ab、cd及物體C的受力如圖：由平衡條件得：

T₁=mgsin30°+F，
T₂=T₁+F，
T₂=2mg…④
聯(lián)立①②③④解得：${v}_{m}=\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$…⑤
（2）對物體C、導體棒ab、導體棒cd組成的系統(tǒng)，由于導體棒ab、cd的電阻相等，流過的電流時刻相等，故兩棒產生的內能E相等．由能的轉化和守恒定律得：

 $2mgh=\frac{1}{2}×2m{v}_{m}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}+mghsin30°+2E$…⑥
聯(lián)立⑤⑥將h=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$代入解得：E=$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$…⑦
（3）對導體棒ab，設這一過程中細線對其做的功為W，則由能的轉化和守恒定律得：
W=mghsin30°+$\frac{1}{2}m{v}^{2}+E$…⑧
聯(lián)立⑤⑦⑧三式解得：W=$\frac{31{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}^{4}}$      
答：（1）物體C能達到的最大速度V_m是$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）金屬棒ab產生的焦耳熱是$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）連接ab棒的細線對ab棒做的功是$\frac{31{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{32{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題有兩個關鍵：一是推導安培力與速度的關系；二是對物體C、導體棒ab、導體棒cd組成的系統(tǒng)，由于導體棒ab、cd的電阻相等，流過的電流時刻相等，故兩棒產生的內能E相等，對于它們的結果要理解記牢，有助于分析和處理電磁感應的問題．