如圖,光滑半圓形軌道半徑為R,水平面粗糙,彈簧自由端D與軌道最低點(diǎn)C距離為4R,一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊自圓軌道中點(diǎn)B由靜止釋放,壓縮彈簧后被彈回到D點(diǎn)恰好靜止.已知物塊與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2:重力加速度為g,彈簧始終處在彈性限度內(nèi),求:
(1)彈簧的最大壓縮量和最大彈性勢能
(2)現(xiàn)把D點(diǎn)右側(cè)水平地面打磨光滑,且已知彈簧壓縮時(shí)彈性勢能與壓縮量的二次方成正比,使小物塊壓縮彈簧,釋放后能通過半圓軌道最高點(diǎn)A,壓縮量至少是多少?
分析:(1)對(duì)小物塊從B到壓縮到最右端再返回到D點(diǎn)為研究過程,根據(jù)動(dòng)能定理求出彈簧的最大壓縮量.從壓縮量最大位置到返回原長的過程中,彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能,根據(jù)能量守恒求出最大彈性勢能.
(2)根據(jù)牛頓第二定律求出通過最高點(diǎn)A的最小速度,抓住彈簧壓縮時(shí)彈性勢能與壓縮量的二次方成正比,從彈簧壓縮的位置到A點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理,求出壓縮量的大。
解答:解:(1)設(shè)最大壓縮量為x,最大彈性勢能為EP,由動(dòng)能定理得
 mgR-μmg(4R+2x)=0          ①
得  x=0.5R                  ②
返回過程彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能 EP=μmgx           ③
得    EP=0.1mgR              ④
故彈簧的最大壓縮量為0.5R,最大彈性勢能為0.1mgR.
(2)設(shè)壓縮量至少為x′,相應(yīng)的彈性勢能為EP
  
EP
EP
=
x2
x2
                        ⑤
  mg=m
vA2
R
                       ⑥
EP′-μmg?4R-mg?2R=
1
2
mvA2
      ⑦
聯(lián)立⑤⑥⑦解得  x′=
33
2
R
          ⑧
故壓縮量至少是
33
2
R
點(diǎn)評(píng):本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理和能量守恒定律,解決本題的關(guān)鍵靈活選取研究的過程,選用適當(dāng)?shù)囊?guī)律進(jìn)行求解.
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(1)彈簧的最大壓縮量和最大彈性勢能
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