Question

12．在抗震救災(zāi)中常常利用懸停直升機(jī)向?yàn)?zāi)區(qū)空投救災(zāi)物資（如圖甲）．對(duì)于醫(yī)藥救災(zāi)物資只能從不高于h=20m處自由釋放才能安全著地，實(shí)際一些災(zāi)區(qū)往往地處深山峽谷，直升機(jī)能夠安全懸停的高度比h要高得多，直接空投會(huì)造成損失．為解決這一問(wèn)題，“我愛(ài)發(fā)明”研究小組設(shè)計(jì)了一臺(tái)限速裝置，不論從多高處釋放物資，最終都能以安全速度著地．該裝置簡(jiǎn)化工作原理如圖乙所示，豎直絕緣圓盤(pán)可以繞圓心O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，其上固定半徑分別為r₁=1m和r₂=0.5m的兩個(gè)同心金屬圓環(huán)，連接兩圓環(huán)的金屬桿EF的延長(zhǎng)線(xiàn)通過(guò)圓心O，足夠長(zhǎng)的不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩一端纏繞在大金屬圓環(huán)上，另一端通過(guò)光滑滑輪掛救災(zāi)物資，圓環(huán)上的a點(diǎn)和b點(diǎn)通過(guò)電刷連接一可調(diào)電阻R，兩圓環(huán)之間區(qū)域存在垂直于圓盤(pán)平面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=40T．（細(xì)繩與大金屬圓環(huán)間沒(méi)有滑動(dòng)，金屬桿、金屬圓環(huán)、導(dǎo)線(xiàn)及電刷的電阻均不計(jì)，空氣阻力及一切摩擦均不計(jì)，重力加速度g=10m/s²）

（1）求醫(yī)藥物資能安全著地的最大速度；
（2）利用該裝置使醫(yī)藥物資以最大安全速度勻速下降，求此時(shí)電阻R兩端的電勢(shì)差；
（3）若醫(yī)藥物資的質(zhì)量m=60kg，應(yīng)如何設(shè)置可調(diào)電阻R的阻值？
（4）試推導(dǎo)質(zhì)量為m的醫(yī)藥物資在勻速下降時(shí)，金屬桿EF所受安培力與重力的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)位移與速度公式，即可求解；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合幾何關(guān)系求得面積，從而求得電阻R兩端的電勢(shì)差；
（3）由能量守恒關(guān)系，重力的功率等于發(fā)熱功率，從而求得可調(diào)電阻的阻值范圍；
（4）根據(jù)安培力表達(dá)式F=BIL，結(jié)合mgv=$\frac{{E}^{2}}{R}$，和E=$\frac{1}{2}B（v+\frac{v}{2}）（{r}_{1}-{r}_{2}）$，即可求解．

解答 解：（1）設(shè)醫(yī)藥物資安全到達(dá)地面的最大速度為v，
根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)可知，則有：v=$\sqrt{2gh}$，解得：v=$\sqrt{2×10×20}$=20m/s；
（2）在△t時(shí)間內(nèi)，金屬桿EF掃過(guò)的面積為：△S=$\frac{1}{2}（v△t+\frac{v}{2}△t）（{r}_{1}-{r}_{2}）$
由法拉第電磁感應(yīng)定律，金屬桿上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為E=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{1}{2}B（v+\frac{v}{2}）（{r}_{1}-{r}_{2}）$；
解得：E=300V，
則電阻R兩端的電勢(shì)差為300V；
（3）醫(yī)藥物資以最大安全速度下降時(shí)，由能量關(guān)系可知，mgv=$\frac{{E}^{2}}{R}$
解得：R=7.5Ω
可調(diào)電阻R的阻值應(yīng)大于或等于7.5Ω；
（4）設(shè)金屬桿EF所受安培力為F，則有：F=BIL=B$\frac{E}{R}$（r₁-r₂）
將mgv=$\frac{{E}^{2}}{R}$，和E=$\frac{1}{2}B（v+\frac{v}{2}）（{r}_{1}-{r}_{2}）$代入；
解得：F=$\frac{4}{3}mg$
答：（1）醫(yī)藥物資能安全著地的最大速度20m/s；
（2）利用該裝置使醫(yī)藥物資以最大安全速度勻速下降，此時(shí)電阻R兩端的電勢(shì)差300V；
（3）若醫(yī)藥物資的質(zhì)量m=60kg，應(yīng)可調(diào)電阻R的阻值應(yīng)大于或等于7.5Ω；
（4）質(zhì)量為m的醫(yī)藥物資在勻速下降時(shí)，金屬桿EF所受安培力與重力的大小關(guān)系F=$\frac{4}{3}mg$．

點(diǎn)評(píng) 考查運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、法拉第電磁感應(yīng)定律的內(nèi)容，掌握能量守恒關(guān)系，知道安培力表達(dá)式應(yīng)用，并注意掃過(guò)面積求法．