Question

11．天文工作者測(cè)得某行星的半徑為R₁．它有一顆繞其做圓周運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星，衛(wèi)星軌道半徑為R₂，衛(wèi)星運(yùn)行周期為T．已知萬有引力常量為G．
（1）求該顆衛(wèi)星加速度；
（2）求該行星的平均密度；
（3）要在該星球上發(fā)射一顆靠近表面運(yùn)行的人造衛(wèi)星，此衛(wèi)星的速度為多大？

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞行星做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合軌道半徑和周期求出衛(wèi)星加速度；
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律求出行星的質(zhì)量．再求行星的平均密度．
（3）根據(jù)行星表面萬有引力提供向心力求解第一宇宙速度，即為此衛(wèi)星的速度．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞行星做圓周運(yùn)動(dòng)，其加速度為：a=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}_{2}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$
可得行星的質(zhì)量為：M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}}$
因此該行星的平均密度為：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}$=$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}{R}_{1}^{3}}$
（3）靠近行星表面運(yùn)行的人造衛(wèi)星的軌道半徑近似等于行星的半徑R₁．由萬有引力提供向心力，得
  G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
聯(lián)立解得：v=$\frac{2π{R}_{2}}{T}$$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
答：（1）該顆衛(wèi)星加速度是$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$；
（2）該行星的平均密度是$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}^{2}{R}_{1}^{3}}$；
（3）要在該星球上發(fā)射一顆靠近表面運(yùn)行的人造衛(wèi)星，此衛(wèi)星的速度為$\frac{2π{R}_{2}}{T}$$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握衛(wèi)星繞行星運(yùn)行時(shí)，由萬有引力提供向心力，運(yùn)用萬有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合解答．