Question

10．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)其內(nèi)部物體的引力為零．科學(xué)家設(shè)想在赤道正上方高d處和正下方深為d處各修建一環(huán)形軌道，軌道面與赤道面共面．現(xiàn)有A、B兩物體分別在上述兩軌道中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若地球半徑為R，軌道對(duì)它們均無(wú)作用力，則A、B兩物體運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 向心加速度大小的比為$\frac{{R}^{3}}{（R+d）^{2}（R-d）}$
• B． 線速度大小的比為$\frac{R}{{R}^{2}-lvtzrnn^{2}}$$\sqrt{R（R+d）}$
• C． 角速度的比為$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{（R+d）^{3}}}$
• D． 周期之比為2π$\sqrt{\frac{（R+d）^{3}}{（R-d）^{3}}}$

Answer 1

分析 由地球質(zhì)量等于密度乘以體積，可得地球質(zhì)量表達(dá)式；由萬(wàn)有引力提供向心力，對(duì)A、B分別列方程可得兩物體速度和加速度之比．

解答 解：設(shè)地球密度為ρ，則有：
在赤道上方：$\frac{{Gρ\frac{4}{3}π{R^3}}}{{{{（R+d）}^2}}}=\frac{v_1^2}{R+d}={a_1}=（R+d）{ω_1}^2=\frac{{4{π^2}（R+d）}}{{{T_1}^2}}$
在赤道下方：$\frac{{Gρ\frac{4}{3}π{{（R-d）}^3}}}{{{{（R-d）}^2}}}=\frac{v_2^2}{R-d}={a_2}=（R-d）{ω_2}^2=\frac{{4{π^2}（R-d）}}{{{T_2}^2}}$
解得：
$\frac{a_1}{a_2}=\frac{R^3}{{{{（R+d）}^2}（R-d）}}$，故A正確；
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{R}{{R}^{2}-jhjxx5d^{2}}$$\sqrt{R（R+d）}$，故B正確；
$\frac{ω_1}{ω_2}$=$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{{（R+d）}^{3}}}$，故C正確；
$\frac{T_1}{T_2}=\sqrt{\frac{{{{（R+d）}^3}}}{R^3}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：ABC

點(diǎn)評(píng) 本題主要掌握萬(wàn)有引力提供向心力的基本應(yīng)用，要會(huì)用數(shù)學(xué)方法表示球體質(zhì)量；并正確應(yīng)用萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力求解各物理量的表達(dá)式．