Question

2．半徑為R、介質(zhì)折射率為n的透明圓柱體，過其軸線OO′的截面如圖所示．位于截面所在平面內(nèi)的一細束光線，以角i₀由O點射入，折射光線由上邊界的A點射出．當光線在O點的入射角減小至某一值時，折射光線在上邊界的B點恰好發(fā)生反射．求A、B兩點間的距離．

Answer 1

分析 由折射定律求出光線在左側(cè)面上的折射角，可幾何關(guān)系求出A、D間的距離．由sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射臨界角C，再由幾何知識求解B、D間的距離，即可得到AB間的距離．

解答 解：當光線在O點的入射角為i₀時，設折射角為r₀，由折射定律得：$\frac{sin{i}_{0}}{sin{r}_{0}}$=n ①
設AD間的距離為d₁，由幾何關(guān)系得：
sinr₀=$\frac{R}{\sqrt{{R}^{2}+euqsags_{1}^{2}}}$ ②
若光線在B點恰好發(fā)生全反射，則在B點的入射角恰好等于臨界角C，設BD間的距離為d₂．則有：
sinC=$\frac{1}{n}$ ③
由幾何關(guān)系得：sinC=$\frac{oc4wamm_{2}}{\sqrt{{R}^{2}+4uoscue_{2}^{2}}}$ ④
則A、B兩點間的距離為：d=d₂-d₁；⑤
聯(lián)立解得：d=（$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$-$\frac{\sqrt{{n}^{2}-si{n}^{2}{i}_{0}}}{sin{i}_{0}}$）R ⑥
答：A、B兩點間的距離為（$\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}-1}}$-$\frac{\sqrt{{n}^{2}-si{n}^{2}{i}_{0}}}{sin{i}_{0}}$）R．

點評 解決本題的關(guān)鍵要作出光路圖，運用幾何知識和折射定律結(jié)合解答．